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基于改进SIR模型的“拼多多”平台用户增长模式分析 曹嘉凝 王子闻 张雨欣
山东省青岛第二中学 山东青岛 266300
摘要：拼多多成立于2015年9月，在成立后仅用了近三年的时间，便拥有了近3亿用户、百万级商家，远远超过了其他传统电商如淘宝和京东的扩张速度。本文对拼多多的用户市场进行了建模研究，以期能够从数学模型的角度解释拼多多用户迅猛增长的原因，并对拼多多今后的市场发展趋势进行研究。本文通过改进传统的传染病模型(SIR模型)，结合拼多多平台的实际特征，将用户分为四类，通过用数学模型表达四类用户之间的相互转化关系，建立了一个描述拼多多用户增长模式微分方程模型(PRAS模型)。根据从互联网收集的数据确定该模型的初值和传播率等参数后，本文对该微分方程进行了数值求解，求解结果显示本文建立的微分方程能够较为合理地描述拼多多发展前期用户迅速积累的现象。 关键词：传染病模型；拼多多；增长模式
四、研究结论
在购物类型APP，向大学生拓展定向市场，一定要注重平台商品种类丰富化、多元化，充裕的价格选择空间，使产品介绍信息详细化。针对女性大学生作为定向市场拓展对象时，应以增强产品的丰富性和产品介绍的详细化为主要出发点。若想对较高年级的大学生投放广告，优先选择替代商品价格选择区间较大的平台投放。服装企业和化妆品企业在拓展大学生为其定向客户时，应增加线上销售渠道的宣传及投入。
在游戏类型APP，向大学生拓展定向市场，游戏设计要营造轻松的氛围，减少联机，注重考虑使用碎片化时间玩游戏的情况。教育部门可以增加较低年级的课余活动时间设计；硬性增加个人规划的相关课程，增强个人规划能力，提高自主学习主动性，减少荒废在游戏上的时间。针对女性大学生或较低年级大学生作为定向市场拓展对象时，可以通过增加明星效应的推广投入来提高效率。若想对较低年级的大学生投放广告，应优先选择在休闲益智类游戏APP 上投放。
在学习类型APP，向大学生拓展定向市场，应以免费提供知识类服务为主要渠道，并且做英语学习类型APP最为有效。物质生活类商品，向大学生类定向客户投放广告时，优先选择课程学习所必须的APP投放；知识产权类商品推广，可以优先选择英语学习或电子阅读类APP投放。
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作者简介：
1.黄雪渝，北京信息科技大学本科生。
2.李淼，北京信息科技大学本科生。
3.周海亮(指导老师)，北京信息科技大学讲师，哲学博士，研究方向：管理哲学。
一、研究背景和意义
(一)研究背景
拼多多是成立于2015年9月。其在成立后仅用了近三年的时间，便拥有了近3亿用户、百万级商家，远远超过了其他传统电商如淘宝和京东的扩张速度。然而，随着商家和用户数量的激增，拼多多平台受到的质疑也越来越多，逐渐显露出快速发展带来的弊端。
拼多多用户数量快速增长的背后，蕴含着三个主要的原因。一
是拼多多采取创新性的“拼团”模式，选择让用户发起团购。二是拼多多目标体庞大。三是拼多多所面向的目标体时间充裕，不过分追求高效和品质。
拼多多凭借上述“团购+低价”的发展模式，以及对平台社交属性的运用，积累了大量的活跃用户，迅速从二三线以下城市崛起。有人认为拼多多代表的社交电商是未来电商的发展趋势，而另外一些人则认为拼多多的崛起依靠的是劣质产品，其代表的“消 Electronic Bussiness | 电子商务
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乡愁赏析费降级”必然会被历史大势所掩盖。因此拼多多未来如何发展还是一个未解之谜。
(二)研究现状和研究意义
拼多多这类依靠社交关系为信息传播媒介的电商平台，是最近几年新兴的消费方式，极少有文献对其发展进行建模研究。针对拼多多用户增长模式的建模研究目前尚处于空白阶段。
本文在“拉新-激活-留存-付费-自传播”这个发展机理的基础上，首先结合传统的传染病模型，通过一系列合理的假设，建立了微分方程来描述拼多多的用户变化。以上工作在目前的研究报告中是鲜有提及
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的。因此本文的研究无论是在研究内容还是方法上都具有很强的创新性。
本文的研究意义可以从平台和研究者两个角度进行论述。从平台角度来看，通过建立用户增长模型，平台可以预知活跃用户可能出现的高峰期，从而合理地提前做好规划，在软件承载力、物流和仓储等方面做好准备。长远来看，平台针对活跃用户可能出现的下降趋势，可以在相应时间，采取一定的商业措施减少活跃用户的流失，达到用户留存的目的。从研究者角度来看，本文的用户增长模型，可以推广到拼多多所代表的社交型电商的研究中去，为其他研究人员在方法上提供参考，结果上提供对比。
二、PRAS模型综述
从数学角度来看，拼多多平台用户的增长模型可以抽象为某种状态在体中的传播蔓延模型。在这个模型中，个体的状态是受其他个体的状态所影响的，这与传染病模型有许多共通之处。首先是所研究问题的相似性：二者都是研究某种状态在人中传播和蔓延的模型。其次，模型包含的角具有相似性，而且，这些角之间的转换规则也很接近。例如，在传染病模型中，健康者受患病者的传染而变成患病者，而在本文的模型中，潜在用户受活跃用户的推荐或拼团邀请转换为活跃用户。因此，本文针对拼多多平台的用户增长模式，建模考虑用与传染病模型相似的方法。本章首先简单介绍传染病模型的理论，作为后续用户增长模式建模的理论背景。我们从宏观的角度建立描述拼多多用户发展过程
的PRAS模型，通过收集数据、确定参数后，对该模型进行了数值求解，并对求解结果的合理性和准确性进行讨论。
(一)传染病模型简介
数学家从病人康复的统计数据入手，进行了宏观分析，即在对问题进行合理简化的基础上进行构造。传统的传染病模型有指数模型、SI模型、SIS模型和SRI模型四种，下面分别简述。
1.指数模型
将全部人口看成一个整体，总数为N，假设单位病人在单位时间内传染的人数(即传染率)为常数λ。记t时刻病人比例为i(t),t+△t 时刻病人比例为i(t+△t)，从而根据传染率的概念，在这△t时间段内，病人的增加人数为：
N i (t+△t)-N i (t)=λN i (t)△t
将上式同除以N△t，并令△t→0。则该问题转化为以下形式的
微分方程初值问题：
其解析解为：i(t)=i 0e λt
当λ=0.9，i 0=0.1时，其解的形式如下图1所示：图1 指数模型患病比例曲线(λ=0.9，i0=0.1)
然而指数模型较为粗糙，在传染病发生的中晚期与实际值相差很大，尤其是当t→∞时,i(t)也趋于无穷，这是不现实的。产生这种情况的原因是模型未考虑健康人数的不断减少，在该模型中病人还可以继续患病，出现了多重计算的情况，由此发生了“指数爆炸”。
2.SI模型
为了避免以上“指数爆炸”的问題，数学家们提出了SI模型。SI模型将人分成两个体：未患病者和病人，从而消除了指数爆炸现象的发生。
SI模型中，在t时刻设未患病者与病人的比例分别为s(t)和i(t)，那么s(t)+i(t)=1这里仍假设病人在单位时间内传染的人数即传染率为常数λ，且患病者仅使接触的未患病者感染(而不能使已经患病的人继续感染)，则到t+△t时段内病人的增加人数为：
i(t+△t)N-i(t)N=λN s (t)i(t)△t
将上式同除以N△t，并令△t→0。则该问题转化为以下形式的
微分方程初值问题：
其解析解为：
t
e i t i λ−−+=
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)11
(11
)(0
当λ=0.9.i0=0.1时，其解的形式如下图2：
图2 SI模型患病比例曲线(λ=0.9.i0=0.1)
这就是著名的Logistic模型，常称为S曲线。S曲线的特征是增长速度先增后减，在中间的某天存在一个最大的增长率。可以看到t→∞时,i(t)→1，虽然S模型的计算结果没有发生“指数爆炸”，但i(t)→1意味着全体居民最终将全部患病，但这也是不合理的，原因是没有考虑病人可以治愈。
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3.SIS模型
为了改进SI模型的不合理性，以下考虑病人可以治愈的情况，定义单位时间内病人治愈的比例即治愈率为常数µ。考虑病人的治愈率后,t到t+△t时段内病人的增加人数为：
i(t+△t)N-i(t)N=λNs(t)i(t)△t-µNi(t)△t
将上式同除以N△t，并令△t→0。则该问题转化为以下形式的
微分方程初值问题：
其解的形式比较复杂，这里仅给出解的形状，具体求解过程可参考文献。
如图3，随着时间的推移,SIS模型也呈现出了S型的变化曲线，并且最终会稳定在一个不等于1的感染比例，该比例对应于传染与治愈的一个平衡状态，比SI模型更好地反映了传染的情况。SIS模型没有考虑患病者具有免疫力的情况，对于某些疾病而言，治愈以后的个体具有永久性的免疫能力，不会再次患病，因此对于能够免疫的情况，还可以引入免疫的概念。
图3 SIS模型患病比例曲线(λ=0.5,µ=0.25)
4.SIR模型
在SIS基础上考虑病人的免疫，将人分为未患病者(S)、病人(I)和免疫者(R)三个类型，免疫者己经有了该病毒的抗体，退出传染系统。在t时刻，三类人的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)，那么s(t)+i(t)+r(t)=1
考虑免疫后,t到t+△t时段内病人的增加人数为：i(t+△i)N-i(t)N=λNs(t)i(t)△t-µNi(t)△t 未患病者的变化量为：
s(t+△t)N-s(t)N=-λNs(t)i(t)△t
将以上两式同除以N△t，并令△t→0。则该问题转化为以下形
式的微分方程初值问题：
该方程难以求出解析解，因此这里采用数值解法进行求解。当λ=0.2,i 0=0.1,s 0=0.88,µ=0.07时，该方程数值解的形式如图4
所示。其中感染比例(t)先增后减，出现了一个峰值，该峰值对应于病情最严重的时间，此后由于病人的免疫和治愈，感染比例逐渐减少。当t→∞时,i(t)→0,r(t)→1，意味着病人全部被治愈。
图4 SIR模型患病比例曲线(λ=0.2,µ=0.7)
(二) PRAS模型
基于上文中介绍的四个传染病模型的数学思想，本节主要在SIR模型的基础上进行修改，将拼多多平台的用户分成以下四类:
1.潜在用户P：未开始使用，但是有潜在使用拼多多可能性的用户。
2.激活用户A：进入过网站、下载过APP并注册账号但并没进行交易的用户。
3.活跃用户S：使用拼多多进行商品购买的用户。
4.免疫用户R：放弃使用拼多多的用户。
四种用户之间的转换关系如图5所示，其中，潜在用户P受活跃用户S的影响，升级为激活用户A或直接转换为活跃用户S。激活用户可能受活跃用户的影响转换为活跃用户S，也可能在注册后卸载
软件。活跃用户S以一定的概率免疫成为免疫用户。
图5 四类用户的转换关系示意图
根据上述各类用户之间的联系，可以建立描述拼多多用户增长模式的微分方程模型(PRAS模型)。类似于传染病模型中的传染率λ和治愈率，这里我们先引入传播率、转换率和免疫率的概念。
传播率:A类用户对B类用户的传播率p定义为A类用户在单位时间内有效影响的B类用户的人数。
转换率:A类用户对B类用户的转换率q定义为A类用户在单位时间内转换为B类用户的比例。
免疫率:A类用户对B类用户的转换率e定义为A类用户在单位时间内成为B类用户的比例。
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现代商业56基于以上概念，四类用户及他们之间的关系可以用如下形式的
微分方程表示：
这是一个微分方程初值问题。为了能够数值求解该方程，需要确定五个模型参数和P 0,A 0,S 0,R 0四个初值。
(三) PRAS模型参数获取
根据我们的模型，需要确定的参数有:
表1 PRA模型参数表
数学符号实际意义
P 0初始状况下的潜在用户比例A 0初始状况下的激活用户比例S 0初始状况下的活跃用户比例
R 0初始状况下的免疫用户比例
p 1潜在用户受活跃用户影响(砍价邀请，广告)，向激活用户转变的传播率
p 2潜在用户受活跃用户影响(拼团邀请)，向活跃用户转变的传播率
q 激活用户自身向活跃用户转变的转换率(自行购物)c 1激活用户了解本平台后，没有购买和拼团意愿，转变为免疫用户的免疫率
c 2
活跃用户由于客服、物流、产品质量等问题放弃使用本软件，转变为免疫用户的免疫率
下面对以上九个参数分别讨论。对于初始值的确定，首先需要确定一个总人口数量，即该软件所能影响的全部人数。在此我们采用分析拼多多用户城市分布并结合中国城镇人口分布的统计数据的方法来
进行估计。2018年4月的最新调查显示,1.2%的拼多多使用者居住在一二线城市，而58%的使用者居住在三四线及以下城市。并且根据各省统计年鉴统计,2016年我国一二线城市人口约是3.47亿，约占全国人口24.8%，三四线及以下城市人口约占75.2%。通过对比统计出的数据并进行计算，从以上数据可以看出，尽管该软件主打市场为三四线城市等欠发达地区，其一二线城市用户的占比仍较为巨大，一二线城市用户使用该软件的倾向为三四线及以下城市用户的2.13倍。考虑到该软件平台上产品的质量以及其他平台，比如淘宝和京东的竞争，我们假设最多65%的二线城市用户能够并愿意使用该软件，则大约最多31%的三四线及以下城市用户能够并愿意使用。为了方便计算，将我国人口定为14亿(一二线城市人口3.47亿，三四线城市人口10.53亿)，那么,NT=3.47×65%+10.53×31%=5.52(亿)。
因此通过计算得出拼多多能够影响的最大用户数量NT约为5.52亿。
接下来我们开始确定各项用户的初始比例。在此计算中我们
引用了拼多多官方发布的数据，见下表2:
表2 拼多多2017-2018年用户数量统计
2017
2018拼多多运营数据Q1
Q2
Q3
Q4
Q1Q2季度月平均活跃用户(亿)0.150.3280.711 1.41
1.662
1.995环比增长(亿)
0.1780.3830.6990.252
0.288
环比增长=本季度增新-去年同一季度到现在已流失的用户注：季度月均活跃用户应该是指三个月的月活跃用户之和/3
表2所能提供的关于拼多多用户数量的数据最早可以追溯到2017年第一季度，季度月平均活跃用户数量为0.15亿人。在此我们提供两个假设：
1.假设第一季度1月~3月每月平均活跃用户数量相等，即都为0.15亿；
2.假设活跃用户在月内和周内的软件使用倾向一致，即一周的活跃用户数等于一个月的活跃用户数，考虑到用户的活跃性在一个月内不会有太大改变，此假设可以成立。
建立这两个假设后，我们将2017年1月的第一个周定为计算的初始时间。一月的活跃用户数量为0.15亿。注意，表2.2中提到的“季度月平均活跃用户”的概念和PRAS模型中的S活跃用户的定义有所不同，这里的活跃用户是指去过网站或者使用过软件的人，包括但不仅限于买家，与本文的模型进行对比，则这里的活跃买家是模型中的活跃用户，而剩余的非活跃买家即为模型中的激活用户，所以0.15亿包含了本文模型中的A和S。激活用户和活跃用户，一般情况下，活跃用户中绝大部分是活跃买家，因此我们不妨假设0.15亿包含了66.6%的活跃买家S，和33.3%的非活跃买家A。所以，
N s =66.6%×0.15=0.099(亿人)N A =33.3%×0.15=0.04995(亿人)
那么，
接着，考虑到2017年初期这一时间段是用户刚开始接触拼多多的时间，假设该时间段并无免疫用户，即：
R 0=0所以,
P 0=1-S 0-A 0-R 0=0.97
至此确定了所有初值。下面进行传播率、转换率和免疫率的确定。前文提到PRAS模型中将时间以星期为单位，所以接下来需要确定的参数都是以星期为时间跨度。
p1：代表七日内活跃用户将潜在用户转换为注册用户的传播率，由两个因素决定，一是活跃用户是否传播，二是潜在用户是否接受。根据2018年4月的调查显示,90%的拼多多活跃用户会把软件推广给其他潜在用户，我们假设被推广的潜在用户中18%的人会选择帮助好友拼单并下载APP完成注册，那么,
p 1=90%×18%=16.2%
p 2：代表七日内活跃用户将潜在用户转换为活跃用户的传播率,p2与p1性质上十分类似，都是潜在用户受到活跃用户的影响从而进行的一系列行为，不同之处在于潜在用户直接转化为活跃用户意味着其愿意为该软件付出金钱成本，所以相比前者发生的可能性更低，即p2<p1,p2=10%。
q：七日内激活用户自身向活跃用户转变的传播率。我们在所
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统计的该软件七日留存率的基础上进行估值，原因是七日后仍能保留拼多多的大部分用户可以被视作已开始使用该软件并进行购物。调查显示，拼多多的七日留存率为77%，但我们不排除有少数用户仍留存软件但完全不使用的可能性，所以，我们推测q<77%，但不会偏离太多。那么我们假定：
q=50%
c 1：七日内激活用户向免疫用户转变的传播率。该传播率应该正好是q的相对部分，因为七日后未留存软件的用户可以被视为放弃使用，即免疫用户，所以：
c 1=1-77%=23%
c 2：即活跃用户七日内的免疫率。目前为止，我们还没能到相关的准确数据，但是请注意，该免疫率并不会太高，原因是如拼多多、京东等较大的购物平台用户粘性都较高，所以我们假设
c 2=1%
(四)计算结果分析和讨论
通过MATLAB编程，使用上节确定的初值和模型参数，数值求解上述微分方程，得到该软件四个人比例曲线如下图6：
图6 PRAS模型预测的四个人比例曲线
如图6所示，通过PRAS模型预测分析可知，自2017年1月的第一星期开始。
1.潜在用户人数持续下降，直至2018年9月8日所在的一星期下
降至0，届时所有潜在用户都已经被影响到。根据公式：
可知潜在用户比例的变化速率一直为负，即代表着潜在用户的数量只降不增。
2.活跃用户人数持续上涨至2018年1月6日所在的一星期，峰值达到2.46亿，之后开始持续下降直至2021年10月1所在的一星期下降至0。这意味着按照目前的参数设置，如果拼多多平台保持活跃用户1%和激活用户23%的免疫率，那么拼多多的用户长期来看一定会出现下降态势。
3.激活用户持续增长至2017年7月29日所在的一星期，峰值达到近2903万后开始下降，直到2018年5月19日所在的一星期下降至0，原因与活跃用户的情况相同，即2017年7月29日所在的一星
期,t=30时，
4.免疫用户持续增长，直到2021年10月1日占据总人数的100%,
原因是，根据公式：
免疫用户比例的变化速率一直为正，即代表着免疫用户的数量只增不降，因为本文没有考虑免疫用户的回流情况。
下面我们将预测结果与实际情况进行对比。拼多多官方发布的数据显示，2018年第一季度，月平均活跃用户与激活用户总数量为1.622亿，由于PRAS模型是以周为时间单位进行计算，我们再次考虑之前提到的假设,“假设活跃用户在月内和周内的软件使用倾向一致”，模型预测的2018年第一季度的周活跃用户与激活用户总数量与实际数据1.622亿相比存在一定的差距。此外，拼多多2018年第二季度月平均活跃用户与激活用户总数量为1.95亿，证明第一季度过后拼多多的用户数量仍处于上升趋势，并未达到顶峰，这也与PRAS模型预测的顶峰时间有所不符。以上两点的原因皆是由于数据确定过程中存在一定的不准确性。但总的来说，本模型还是较为正确地描述了拼多多用户在前期的激增，并对未来可能出现的下降态势做出了预测。
(五) PRAS模型小结
本章针对拼多多用户的结构形式，将其分成四类用户，基于传染病模型的数学原理，建立了描述四个里相互转换关系的微分方程(简称为PRAS模型)。通过查阅资料确定了该微分方程的初值和转换参数后，对微分方程进行了数值求解，求解的结果显示该模型中活跃用户的增长趋势与实际较为吻合，说明本模型具有较好的参考价值。
三、结论与展望
本文通过微分方程模型，对拼多多用户市场的发展模式进行了研究，得到以下结论:
1.类似拼多多这样的社交型电商在发展初期，依靠社交网络的
强大传播能力其用户会出现指数形式的增长态势。
2.但是社交网络能够覆盖的用户也有限制，这种“指数爆炸”形式的用户增长在一段时间后一定会放慢速度。平台的活跃用户存在一个峰值。
3.在市场的发展后期，如果社交型电商在物流、客服、正品率等方面有所欠缺，其用户会出现长尾式下降，如果不采取有效的措兰州交通大学学报
施，最终会导致平台用户全部流失。
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[4]沈明辉，周哲.拼多多：新一代电商模式代表，逆势崛起撼动行业格局[EB/OL].longhui/p/196076作者简介：
1.曹嘉凝，山东省青岛第二中学学生。
2.王子闻，山东省青岛第二中学学生。
3.张雨欣，山东省青岛第二中学学生。
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