4.2三角形“五心”的向量表示（二）
旁心I A满足
sin
sin
sin=
+
+
-C
I
C
B
I B
A
I A
A
A
A
例题1
在△ABC中，角A、B
、C所对的边分别为a、b、c，且2a=b+c. O，I分别为其外心和内心，求证：OI⊥AI.
证明
()
()
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()
.0
2
2
2
1
2
1
2
·
·
1
·
·
2
·
1
·
·
·
·
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
-
+
=
+
+
+
-
+
+
-
+
+
=
+
+
+
-
+
+
+
+
=
⎪
童装论坛
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
+
+西方音乐史论文
+
-
⎪
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⎝
⎛
+
+
+
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
+
+
+
=
-
=
c
b
a
a
c
b
bc
c
b
a
c
b
bc
c
b
a
a
c
b
bc
c
b
AO
AC
c
AO
AB
b
c
b
a
AC
AC
c
AC
AB
bc
AB
AB
b
c
b
a
AO
AC
c
b
a
c
AB
c
b
a
b
AC
c
b
a
c
AB
c
b
a
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AC
c
b
a
agagcl参比电极c
AB
c
b
a
b
AO
AI
AI
OI
AI
因而原命题得证.
习题1
如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a<b<c. D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE=a，O，I分别为其外心和内心，求证：OI⊥DE.
习题2
如图，O、G、I分别为三角形ABC的外心、重心、内心，且AG⊥OI，求证：
a
c
b
2
1
1
=
+.
5.1圆锥曲线初步
一、平行四边形中的一些结论
①在平行四边形ABCD中，对角线的平方和为边的平方和的两倍，即
②在此基础上，得出中线长公式：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，M为BC的中点，
则有
|AM|
③共起点O，终点分别为A, B，则向量三角形为△OAB，由得出
向量三角形，平行四边形面积公式：
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二、硬解定理
设直线AB的方程为，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点. 联立直线与椭圆，可得
必使
弦长|AB|为
点O到直线的距离为，则△AOB的面积为
≤
当且仅当，即时，取等号.
三、仿射变换
在求△OAB面积最大值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么，当OA⊥OB 时等号成立.
那么对于椭圆，我们设，在新的坐标系下得到
所以面积取到最大值时，
即
也就是
已知不过原点O的直线与椭圆交于A，B两点，M为弦AB的中点，则直线AB 与直线OM的斜率之积
注一：当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；
注二：这里并不要求a>b，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；
注三：双曲线的垂径定理中的斜率之积
五、切线公式
在任意二次曲线上一点P (x0, y0)处的切线方程为：
六、面积公式
由有向线段和围成的△OAB的有向面积
例题
设a1, a2, a3, a4∈R，且=1, 记f (a1, a2, a3, a4) = ，求f (a1, a2, a3, a4)的最小值。
解设，记，
螺杆式启闭机
则
≥2
≥.
6.1尼斯圆
crb指数动点P(x, y)到定点F1(-c, 0), F2(c, 0)的距离之比为λ.(c, λ为正数)，则P点的轨迹方程
讨论：
1. 当时，即, P点轨迹为直线(F1F2的中垂线)
2. 当时，判定轨迹为圆，即尼斯圆
进一步，对于圆锥曲线有: 动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值λ. 则动点P的轨迹是二次曲线. 其中λ即圆锥曲线的离心率e.
快速判断直径，圆心的方法：过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径.
即：在F1F2上到一对调和分比点T，D(根据比例可以快速判断)，TD中点即圆心.
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