备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析
【方法点拨】
1.相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则.
2. 切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则（）; 3.割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则.
说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.
【典型题示例】
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于印度女警察AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________． 【答案】
【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则
，则
在中，，即
所以（当且仅当时取等）
【解法二】∵BT⊥ AP，∴点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1，
过点P作该圆的切线PC，C为切点，则PC=，由切割线定理得：
所以（当且仅当时取等）.
点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向. 例2 在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C抚顺育才中学：x2＋(y－1)2＝5，A为⊙C与x负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M. 若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．
【答案】2
【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CM⊥AB，故∠CMA+∠AOC读报节目=180o，所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.
【解析】连结C、M，则CM⊥A数学机械化B，
在四边形AOCM中，∠CMA+∠AOC=180o，故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径.
x2＋(y－1)2＝5中，令y=0，得x＝±2，A（－2，0），AC=即为△AOM外接圆的直径，
在△AOM中，由正弦定理得：，而OA＝OM=2，
所以，所以tanA=2.
故直线AB的斜率为2．
例3 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ．
【答案】y＝x－1
【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.
【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
由＝2，设BM＝2JS1983t，MA＝t.
如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝.
设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5.
在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝，
则d2＝＝，解得k＝1或k＝－1.
因为点A在第一象限， ＝2，由图知k＝1，
所以所求的直线l的方程为y＝x－1.
【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t
又过点M的直径被M分成两段长为、
由相交弦定理得，解之得
过原点O作OH⊥l于点H，
刘谷来在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，解得d2＝，（下同解法一，略）.
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