圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。
一、定值问题
例1. 椭圆上一点P，两个焦点， 的内切圆记为，求证：点P到的切线长为定值。 证明：设⊙M与△PF1F2的切点为A、B、C，如图1，因⊙M是△PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F1C|＋|F2C|=2c，∴ |F1A|＋|F2B|=2c，由椭圆第一定义知 |PF1|＋|PF2|=2a ，∴ |PA|＋|F1A|＋|PB|＋|F2B|=2a， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a－c为定值．证毕．
点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
二、动点轨迹问题
例2、已知椭圆上一动点P，两个焦点， 的内切圆记为，试求圆心M的轨迹方程 。
解析： 如图1，设∠PF1F2crj-200=α、∠PF2F1=β，M(x，y)则在△PF1F2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即，又由合分比定理知。由斜率公式知：由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有
整理得(a－c)x2＋(a＋c)y2=(a－c)c2(y≠0)证毕．
点评：由上获得的方程不难看出，△PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到一个重要的结论： 已知椭圆上一点P及两焦点，若，，则椭圆的离心率为。
三、方程问题
例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠，且△的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。 解析：设双曲线的方程为，，。在△PF1F2中，由余弦定理，得，即 ，又因为，所以，所以，所以即，又因为，所以。故所求双曲线方程为。
点评：如果在中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。
四、最值.范围问题
例4、 已知曲线C的方程为，A（－1，0），B（1，0），过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若∠MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。
解：（1）若l⊥x轴，则l的方程为，（不合题意）。（2）若l与x轴重合，则∠MAN＝π（不合题意）。
（3）若l与x轴、y轴不垂直，设，代入曲线长春工程学院学报C的方程得：
所以
因为∠MAN为钝角，所以猎狗追兔子所以，所以。所以倾斜角的范围是：
点评：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在中，∠F1PF2为锐角；∠F1PF2为直角；∠F1PF2为钝角。
五、开放性问题
例5、已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题：①夜笑话的内切圆的圆心必在直线上；②的内切圆的圆心必在直线上；③的内切圆的圆心必在直线上； ④的内切圆必通过点．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
解析：设的内切圆分别与PF1空城计剧本、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，再过五十年0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①、④正确。
点评：本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质是问题求解的关键。
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