2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的二
级结论（解析版）圆锥曲线中的二级结论
思路引导
赖特建筑
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
母题呈现
类型一巧用焦点三角形的面积、离心率，突破圆锥曲线压轴小题 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ
2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1
.
2设P 点是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则
（1）|PF 1||PF 2|＝2b 2
1－cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan
θ2
；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.【例1】在椭圆x 225＋y 2
9
＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．
(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．
105
x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF π∠=，则12F PF △的面积
为______．
【跟踪训练】(2022·荆州模拟)已知P 是椭圆x 2
4
＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2
＝π
3
时，则△PF 1F 2的面积为________．类型2妙用中心弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题 设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则k AP·k BP＝e2－1.
【例4】设椭圆x
张天雄a2＋
y
b2＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与
BP的斜率之积为－1，则椭圆的离心率为________．
设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k. 1.若圆锥曲线为椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，则k AB
＝－b2x0
a2y0，k AB
·k OM＝e2－1.
2.若圆锥曲线为双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB
＝b2x0
a2y0，k AB
·k OM＝e2－1.
3.若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝p
y0.
【例5】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB 的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()
A.x2 3－y2
6＝1 B.
x2
4－
y2
5＝1
C.x2 6－y2
3＝1 D.
x2
5－
烽火通信南京研发中心y2
4＝1
点为()2,1M -，则E 的离心率e =_____．
类型4利用焦点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题
1.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →
|，则
椭圆的离心率等于
1
(1)cos λλα
-+.
2.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF →
|
＝λ|FB →
|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α
|.
3.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p
1＋cos θ，
1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 2
2sin θ
.【例8】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝3
2，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B
两点，已知AF →＝3FB →
，则k ＝()
A ．1
B.2
C.3
D ．2
则|AB |为
【例11】设F 为抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，过F 且倾斜角为6π
的直线交C 于A 、B 两点，O
为坐标原点，则△AOB 的面积为。
【跟踪训练】如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为(
)
A ．5
B ．6 C.
163
D.
203
模拟训练
1.（2023·湖北·天门教育科学研究院高二期末）已知1F 、2F 是椭圆22:143
x y
C +=的两个焦点，P 是椭圆上一
点，1260F PF ∠=
，则12PF F △的面积是（
）
A ．3B ．
2C
D 2.（2023·安徽亳州一中高二月考）已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两
点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）
A
B
C ．2
D 3.（2023·安徽·六安一中高二期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，则椭圆
在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆2
21:12
x C y +=，点B
为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（）
A ．1
B
C D ．2
4.（2023·内蒙古·海拉尔二中高三期末）设椭圆的方程为
22
124
x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（）
A ．直线A
B 与OM 垂直；
B ．若直线方程为22y x =+，则AB =
C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为1433⎛⎫
⎪
⎝⎭
，D ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；
5.（2023·安徽·淮北师大附中高二期中）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线212y x =的焦
点重合，过点F 的直线交E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（
）
A ．22
1
4536x y +=B ．22
1
3627x y +=C ．22
1
2718
x y +=D ．22
1
189
x y +=6．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（）
A ．()
1,2B ．()
1,2-C ．(2,D ．(2,-7．已知直线l 与抛物线24y x =交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率之积为1-，则直线l 恒过定点（）A ．(4,0)
B ．(0,4)
C ．(0,4)
-D ．(4,0)
-8．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）
A ．2
B ．
C ．3
D ．
9．设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（）
A
B ．8
C ．12金融机构大额交易和可疑交易报告管理办法
D ．10．已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线l '与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的方程为（
）
刘晓洪A ．22(1)4x y ++=或22(1)4x y -+=
B ．22(1)16x y ++=或22(1)16x x y -+=
C ．22(1)2x y ++=或22(1)2
x y -+=D ．22(1)8x y ++=或22(1)8
x y -+=
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