杜 山
近几年的高考试题中出现了很多以圆锥曲线的性质为背景的题目，命题者通过对圆锥曲线性质的挖掘、引申、演变，编制出了很多耐人寻味的好题，可谓精彩纷呈。本文试举几例，略作说明，仅供读者参考。
性质1 已知圆锥曲线的一个焦点是F，过F的焦点弦两端点为A、B恳谈会，分别过A、B作圆锥曲线的切线，其交点为P，则点P的轨迹是相应于焦点F的准线，且PF⊥AB。
这个性质的证明比较简单，在很多文献中均有阐述，在此从略。 2006年高考全国(Ⅱ)卷第21题为：
已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
本题即是以上述性质为背景命制的。
性质2 过椭圆上位于第一象限内的一点T作椭圆的切线，与x轴、y轴分别交于点A、B，分别为椭圆的左右焦点，则∠AB=∠AT.即B、、、T四点共圆. 证明：设点T的坐标为，则过T的切线方程为，令x=0得
点B的坐标为，令y=0得点A的坐标为，故直线AB的斜率，直线的斜率.
于是∠AB=
而∠AT=
故只需证明=
即证明
即证明+)+ ①
由于T在椭圆上，所以+=，而=
故①式成立，所以∠AB=∠AT
2006年全国高考浙江卷理科第19题为：
如图，椭圆与过点A(2,0)、B(0陈大启，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率为.
(1) 求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左右焦点，M为的中点，求证：∠寡头竞争ATM=∠AT.
由第(1)问求得椭圆方程为，与直线AB的方程：联立，解得T()，即T为线段AB中点，于是∠ATM=
∠，由性质2知∠AB=∠AT，故∠ATM=∠AT.
本题实际上是在性质2的基础上，进行特殊化，使切点为AB中点而得到的结论。
性质3 过以F为焦点的抛物线上任意两点P、Q的切线相交于T，则∠TPF=∠QTF，∠PTF=∠TQF。(证明参见参考文献［1］)
2005年全国高考江西卷理科第19题为：
如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B订阅蜂两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
本题只是把性质3中的抛物线换成了一个特殊的抛物线，结论当然成立。
性质4 已知椭圆内一定点M，过M的弦的两端点为A、B，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，直线与x轴交点为K，则∠AKM=∠BKM.
B（），
将点A、B分别代入椭圆方程得
①
②
将①式两端同乘以，得
③
消去，得
，约去，化简得，
，即，
即于是，△BKC∽△AKD，
∠BKC=∠AKD，故∠AKM=∠BKM.
特别地，当时，M为椭圆的右焦点，直线为相应的准线.
我们来看下面的问题：
已知椭圆，内一定点F（，0）（），直线与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点，设（），过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
本题为2004年全国高考天津卷第22题第三问的推广.
证明：先证明Q、关节置换术F、M三点共线.k2summit作直线QF，与椭圆交于另一点，性质4知，∠ =∠，易知⊥轴，于是点与M重合，即QM经过点F，过P、Q、M分别作直线的垂线，垂足分别为S、R、N，知
由性质4知即.
用此方法，也可以很容易地证明原题。
应用与性质4的证明相同的方法可得到如下性质：
定理1 已知双曲线，过定点M的弦的两端点为A、B，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，若直线与x轴交点为K，则∠AKM=∠BKM.
定理2 已知抛物线，过定点M作动直线与抛物线交于A、B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B向直线作垂线，垂足为C，若直线与x轴的交点为K，则∠AKM=∠BKM.
应用定理2，可证明如下问题：
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明: .(2004年全国高考湖南卷理科21题的第一问)
证明：过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为C，由定理2知设，则，又由定理2可知∠AQP=∠BQP， AE垂直于轴，
，即.
圆锥曲线有很多优美的性质，这些性质的证明方法灵活多样，思想性强，有利于考查学生的思维能力，因而以圆锥曲线性质为背景的题目已经成为近几年高考命题的热点。解题过程中应适当加强对圆锥曲线性质的关注，以培养发现新问题和探索、解决新问题的能力。
参考文献：
［1］奥林匹克数学中的几何问题.湖南师范大学出版社，2004
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