一、考情分析
圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现，主要有两大类：一是证明点线位置关系，如直线或曲线过某个点、直线平行与垂直、直线对称等问题，二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系，如相等与不相等.止脱
二、解题秘籍
(一)证明直线或圆过定点
证明直线过定点，通常是设出直线方程y =kx +m ，由已知条件确定k ,m 的关系.若m =ak +b ，则y =kx +m =k x +a +b ，则直线过定点-a ,b ，证明圆过定点，常见题型是证明以AB 为直径的圆过定点P ，只需证明PA ⊥PB .【例1】(2023届重庆市南开中学校高三上学期质量检测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为32
，椭圆的上顶点B 到两焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于异于点B 的两点P ,Q ，直线BP ,BQ 与x 轴相交于M x M ,0 ,
N x N ,0 ，若1x M +1x N
=1，求证：直线l 过一定点，并求出定点坐标．【解析】(1)∵c a =32
,2a =4,∴a =2,c =3,b 2=a 2-c 2=1．故椭圆方程为x 24
+y 2=1；(2)联立直线和椭圆可得y =kx +m x 24
+y 2=1
，解得1+4k 2 x 2+8km x +4m 2-4=0，于是有：Δ=8km 2-41+4k 2 4m 2-4 >0⇒m 2<4k 2+1,
x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2
． 由题意BP ：y =y 1-1x 1x +1,BQ ：y =y 2-1x 2x +1，分别和y =0联立得,x M =x 11-y 1,x N =x 21-y 2
, 由1x M +1x N =1，得1-y 1x 1+1-y 2x 2=1，即1-kx 1-m x 1+1-kx 2-m x 2
=1整理得2k +1 x 1x 2+m -1 x 1+x 2 =0, 整理得m -1 2k +1+m =0，解得m =1或者m =-1-2k ．
当m =1时，直线l :y =kx +1过点B ，与题意矛盾，应舍去.
故直线l 的方程为：y =kx -1-2k ，过定点为2,-1 ．
【例2】(2023届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线
中学生物l :x =12
，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；
(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ,Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ,Q 为直径的圆经过点A ． 【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12 ,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12
，两边平方整理得3x 2-y 2=3,
则所求曲线C 的方程为x 2
-y 2
3
=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3
，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,,
因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1
，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ =x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ =x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1
=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1
+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ,Q 为直径的圆经过点A .(二)证明与斜率有关的定值问题
证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题，此类问题通常是把斜率之和或斜率之积用点的坐标表示，再通过化简使结果为定值，此外证明垂直问题可转化为斜率之积为-1，证明两直线关于直线x =t 或y =t 对称，可转化为证明斜率之和为0.
【例3】(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2,F 1F 2 =2，面积为487
的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；
(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b
2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值.
【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ,
由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2
，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b 2
=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 2 2
2=1,②由①②解得a 2=4,b 2=3,
故所求椭圆方程为x 24+y 23
=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26
=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208
.
直线运动球轴承
设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ,
与x 24+y 23
=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0,
整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0,③
根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根,
所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 208
-3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4
=-34，即k 1k 2为定值-34.【例4】(2023届天津市第四十七中学高三上学期测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b
2=1a >b >0 的右焦点和上顶点均在直线x +y -3=0上.(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点A 2,1 ，若过点B 3,0 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ,N .直线AM 和直线AN 的斜率分
别为k 1和k 2，求证：k 1+k 2为定值.
【解析】(1)对于直线x +y -3=0，当x =0时,y =3，当y =0时,x =3,
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线x +y -3=0上,
所以b =3,c =3,
所以a 2=b 2+c 2=6,
所以椭圆方程为x 26+y 2
3
=1,(2)因为B 3,0 在椭圆外，过点B 3,0 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点，所以直线l 的斜率一定存在，所以设直线l 方程为y =k (x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),
由y =k (x -3)
x 26+y 23
=1
，得(1+2k 2)x 2-12k 2x +18k 2-6=0,Δ=144k 4-4(1+2k 2)(18k 2-6)=-24k 2+24>0，得-1<k <1,
x 1+x 2=12k 21+2k 2,x 1x 2=18k 2-61+2k 2
，因为k 1=k AM =y 1-1x 1-2=kx 1-3k -1x 1-2,k 2=k AN =y 2-1x 2-2=kx 2-3k -1x 2-2
，所以k 1+k 2=kx 1-3k -1x 1-2+kx 2-3k -1x 2-2
=(kx 1-3k -1)(x 2-2)+(kx 2-3k -1)(x 1-2)(x 1-2)(x 2-2)
=k [2x 1x 2-5(x 1+x 2)+12]-(x 1+x 2)+4x 1x 2-2(x 1+x 2)+4
=k 2⋅18k 2-61+2k 2-5⋅12k 21+2k 2+12 -12k 21+2k 2+418k 2-61+2k 2-2⋅12k 21+2k 2
+4=-4k 2+42k 2-2
=-2(三)证明与线段长度有关的等式证明与线段长度有关的等式问题，一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式，再借助根与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等.
【例5】(2023届江苏省高三上学期起航调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C :y 2=2x ．A 1,A 2为C 上两
点，且A 1,A 2分别在第一、四象限．直线A 1A 2与x 正半轴交于A 3，与y 负半轴交于A 4．
(1)若∠A 1OA 2>90°，求A 3横坐标的取值范围；
(2)记△A 1OA 2的重心为G ，直线A 1A 2,A 3G 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=2k 1．若|A 1A 2|=λ|A 3A 4|，证明：λ为定值．
【解析】(1)设A 1y 212,y 1 ,A 2y 222,y 2 ,A 3y 232,y 3 ,A 4y 242,y 4
,∵∠A 1OA 2>90°,∴OA 1 ⋅OA 2 <0，即y 212⋅y 222
单增李斯特菌+y 1y 2<0,∴-4<y 1y 2<0，直线A 1A 2的方程为：y -y 1=y 1-y 2y 212-y 222⋅x -y 212 ，整理可得,y =2y 1+y 2x +y 1y 2y 1+y 2，令y =0，则x 3=-y 1y 22
∈0,2 ，即A 3横坐标的取值范围0,2 ；
(2)△A 1OA 2的重心为G y 212+y 2223,y 1+y 23
,A 3-y 1y 22,0 ,∴k 2=y 1+y 23y 212+y 2223+y 1y 22
=2y 1+y 2 y 21+y 22+3y 1y 2，又k 1=2y 1+y 2，且k 2=2k 1,∴2y 1+y 2 y 21+y 22+3y 1y 2
=4y 1+y 2，化简得,y 21+y 22=-4y 1y 2,∵|A 1A 2|=λ|A 3A 4|,A 3-y 1y 22,0 ,A 40,y 1y 2y 1+y 2
∴λ2=|A 1A 2|2|A 3A 4|2=y 212-y 222
2+y 1-y 2 2-y 1y 22-0 2+0-y 1y 2y 1+y 2 2=y 1-y 2 2y 1+y 2 2+44 y 1y 2 2y 1+y 2 2+44y 1+y 2 2
,=y 1-y 2 2y 1+y 2 2y 1y 2 2=y 21-2y 1y 2+y 22 y 21+2y 1y 2+y 22 y 1y 2 2=-6y 1y 2 -2y 1y 2 y 1y 2
2=12.即λ=23，所以λ为定值．【例6】已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的离心率是5，点F 是双曲线C 的一个焦点，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)设点M 在直线x =14
上，过点M 作两条直线l 1,l 2，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点.若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补，证明：MA MD =ME MB
.【解析】根据双曲线的对称性，不妨设F c ,0 ，其渐近线方程为bx ±ay =0,
因为焦点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.
所以2=bc b 2+a
2，因为双曲线C 的离心率是5,
所以,c a =52=bc b 2+a 2
c 2=a 2+b 2
，解得a =1,b =2.
所以，双曲线C 的标准方程为x 2
-y 2
4=1.(2)证明：由题意可知直线l 1的斜率存在，设M 14,t
，直线l 1:y =k x -14
+t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立y =k x -14 +t x 2-y 24=1
整理得k 2-4 x 2+2kt -12k 2 x +116k 2-12kt +t 2+4=0，所以,x 1+x 2=-2kt -12k 2k 2-4,x 1x 2=116k 2-12kt +t 2+4k 2-4
正大传奇
.故MA ⋅MB =k 2+1 x 1-14 x 2-14 =k 2+1 x 1x 2-14x 1+x 2 +116 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 .设直线l 2的斜率为k ，同理可得MD ⋅ME =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4
.因为直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,
所以k =-k ，所以k 2=k 2,
则k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4
，即MA ⋅MB =MD ⋅ME ，所以MA MD =ME MB
.(四)证明代数式的值为定值或证明与代数式有关的恒等式
证明此类问题一般是把代数式用点的坐标表示后化简或构造方程求解
【例7】(2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期检测)椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，过
椭圆左焦点F 1且垂直于x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P ，椭圆的右焦点为F 2，已知tan ∠PF 2F 1=312，椭圆过点A 3,12
．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2 ，求证：λ1+λ2为定值．
【解析】(1)依题可知：PF 1=b 2a ,tan ∠PF 2F 1=b 2
赵薇天使旅行箱a 2c =a 2-c 22ac =312，所以12a 2-12c 2=23ac ，即6c a 2+3c a
-6=0，解得c a =32又∵椭圆C 过点A 3,12 ，则3a 2+14b
2=1联立a 2=b 2+c 2c a =323a 2+14b 2=1 可得a =2b =1c =3
，椭圆C 的标准方程为x 24
+y 2=1．(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,F 3,0 ,
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议