课题：圆锥曲线的综合问题
【要点回顾】
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．
若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
2．圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长|AB|＝|x1－x2|或 |y1－y2|.
【热身练习】
1．(教材习题改编)与椭圆＋＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )
A．y2－＝1 B.－x2＝1 C. x2－y2＝1 D. y2－x2＝1
解析：选A 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则得a＝1，b＝.故双曲线方程为y2－＝1.
2．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析：选A 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
4．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
解析：由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，所以B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，则c2＝2b2，则＝，故e＝.
5．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________________．
解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x－y－7＝0
【方法指导】
1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用． 2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘”．
【直线与圆锥曲线的位置关系】
[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[自主解答] (1)由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1电除尘器标准x2＝，
所以|MN|＝＝＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|· d＝.由＝，解得k＝±1.
【由题悟法】
研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．
【试一试】
1．(2012·信阳模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：选C 易知抛物线y211届三中全会＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，
联立⇒k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.
当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，
可解得－1≤k≤1.
【最值与范围问题】
[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．
[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得
得
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.
当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
由消去y，整理得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ①
则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
所以线段AB的中点为M.
因为M在直线OP：y＝x上，所以＝.
得m＝0(舍去)或k＝－.
此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则
Δ＝3(12－m2)＞0，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝·，
设点P到直线AB的距离为d，则
d＝＝.
设△ABP的面积为S，则
S＝|AB|·d＝ifc·.
其中m∈(－2，0)∪(0,2)．
令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2 ]，
u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．
所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．
故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．
综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.
【由题悟法】
1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．
(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；
(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
【试一试】
2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y2＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为( )
A. B.
yy鱼
C. D.
解析：选B 设抛物线上关于直线x＋y＝1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN的方程为y＝x＋b.将y＝x＋b代入抛物线方程，得x2＋(2b－2p)x＋b2＝0，则x1＋x2＝2p－2b，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为(p－b，p)．因为点P在直线x＋y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1.又Δ＝(2b－2p)2－4b2＝4p2－8bp＞0，将b＝2p－1代入得4p2－8p(2p－1)＞0，即3p2－2p＜0，解得0＜p＜.
【定点定值问题】
[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b<t1<a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．
[自主解答] (1)设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.
从而y＝b2，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．
(2)证明：设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2|·|半干法脱硫y2|，
故xy＝xy.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
b2x＝b2x.
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2，从而y＋y＝b2，
因此t＋t＝a2＋b2为定值．
【由题悟法】
1软件质量管理体系．求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程出定点；
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
【试一试】
3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a,0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．
解析：设M，M1，M2，由点A，M，M1共线可知＝，得y1＝，同理由点B，M，M2共线得y2＝.设(x，y)是直线M1M2上的点，则＝，即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，又y1＝，y2＝，
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