mst导数专题导数的前世今生

专题壹总诀式——导数的前世今生

总诀式是导数独孤九剑中的第一招，也是最基础的一招，由概念、运算法则、复合函数求导组成，足足几千字而且内容不相连贯，总诀式是导数的关键，须得朝夕念诵，方可烂熟于胸，然后融会贯通．此基础方法，大道自然，浑然天成，以无形之招，浑然天成之气，豪放不羁之势，藐视导数的度．运用起来，似是看透世间万物一切，如庖丁解牛般游刃有余．

定义函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()0000lim

lim ,x x f x x f x y

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在

0x x =处的导数，记作()0f x '或0

x x y '

要点诠释：

①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.0x ∆→的意义:x ∆与0之间距离要多近有

多近，即|x 0|∆-可以小于给定的任意小的正数；

②当0x ∆→时,y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值去趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

()()00f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率. 根据概念()()

()0000

lim

x f x x f x f x x

'∆→+∆-=∆计算：

()()()()()0

0000000()()lim

lim x x x x a f x f x f x f x a f x f x x x

b x x b

生物化学与生物物理进展''→→⎡⎤--⎣⎦===--

()()()()0000000

()()

lim

x x f x a x f x f x a x f x f x af x a x

''∆→∆→+∆-+∆-=⇒=∆∆ ()()

()()()0000000

()

lim

x x f x a x f x f x a x f x a f x f x a x b x

∆→∆→+∆-+∆-=⇒=

∆∆ ()()

()()()

常熟地震()0000000

lim

()()x x f x a x f x b x f x a x f x b x f x a b f x a b x

''∆→∆→+∆--∆+∆--∆=⇒=++∆∆

【例1】（2020•威宁模拟）已)(x f '是)(x f 的导函数，且4)1(='f ，则x

x f f x ∆∆+-→∆)

21()1(lim 0

=（）

A ．4

B ．8

C ．8-

D ．2-

【例2】（2020•辽宁期末）已知函数2

北京工业大学学报()1f x ax x =-+，若0

(1)(1)

lim 3x f x f x

∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（）

A ．2

B ．1

C ．1-

D ．2-

1.求导的基本公式

(1)若(),f x c =则()0,f x '

=示例()2,f x =则()0f x '

=；

(2)若()(),a

f x x a Q =∈则1(),a f x ax '-=示例5

焓变

(),f x x =则4

()5f x x '

=； (3)若()(0),x f x a a =>则()ln ,x

f x a a '=示例()5,x

f x =则()5ln 5x

f x '

=；

(4)若()log (0,1),a f x x a a =>≠则1(),ln f x x a '

示例9()log ,f x x =则1

()ln 9

f x x '=

；

(5)若(),x f x e =则(),x

f x e '=示例，略； (6)若()ln ,f x x =则1

(),f x x

示例，略； (7)若()sin ,f x x =则()cos ,f x x '

=示例，略； (8)若()cos ,f x x =则()sin ,f x x '

=-示例，略. 2.导数的四则运算法则

(1)函数和（或差）的求导法则：设(),()f x g x 是可导的，则[()()]()(),f x g x f x g x '

±=±即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）;

(2)函数积的求导法则：设(),()f x g x 是可导的，则[()()]()()()(),f x g x f x g x f x g x '

=+即两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数，特别地

[()](),Cf x Cf x ''=即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.

(3)函数商的求导法则：设(),()f x g x 是可导的,()0,g x ≠则2

()()()()()

,()()f x f x g x f x g x g x g x ''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦特别是当()1f x =时，有2

1()

()()g x g x g x '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

fiypaper. 【例3】（2020•南海期末）在跳水运动中ts 时运动员相对于水面的高度（单位m ）是105.69.4)(2++-=t t t h ，则高台跳水运动中运动员在s t 2=时的瞬时速度是（） A ．3.3-

B ．1.13-

C ．1.13

D ．3.3

【解析】因为2

() 4.9 6.510,()9.8 6.5,h t t t h t t '

=-++=-+当2t =时,(2)9.82 6.513.1,h '

=-⨯+=-故选B. 【例4】（2020•南岸月考）下列求导结果正确的是（） A ．x x 21)1(2-='- B ．0030sin )30(cos -='

C ．x x xe e x 2)(2='

D ．x x 2

)(3=

A ．x x sin )(cos ='

B ．2

ln 1

)(log 2x x ='

C ．e x x 2log 2)2(='

D ．2

)11(

x -='-

少先队章程【例6】（2020•南阳月考）若)2(2)(x f x x f +'=，则)1(f '＝（） A ．4-

B ．6-

C ．2

D ．4

【解析】由()2(2)2,f x f x '

=+得(2)2(2)4,f f ''=+得(2)4,f '=-故()82,f x x '=-+即(1)826f '

=-+=-,

故选B.

【例7】（2021•朝阳期末）已知3

21()(1)3

f x x f x x '=-⋅+，则)2(f 的值为（） A ．1-

B ．0

C ．2

D ．

复合函数[()]y f g x =的导数和函数(),

()y f u u g x ==的导数间关系为x

u x y y u '''=: 如2

(31)y x =-我们将分三步:①将复合函数分解为基本初等函数2

;31

y u u x ⎧=⎨=-⎩②将y 对u 的导数记为

2,u y u '=将u 对x 的导数记为3;x u '

=(3)236(31)u

x y y u u x '''=⋅=⋅=-. 【例8】（2019•南开期中）下列式子不正确的是（） A ．x x x x sin 6)cos 3(2-='+ B ．2ln 21

)2(ln x x x

x -='- C ．x x 2cos 2)2sin 2(='

D ．2

sin cos )sin (

x x

x x x x -=

【例9】（2020•保定期末）函数)(ln )(x x k x

e x

f -+=，求)(x f '．

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