马丹;张宝峰;王璐瑶
【摘 要】本文考虑多智能体系统一致性问题的控制与拓扑协同优化设计.首先在给定的二次性能指标下,对多智能体系统的分布式一致性控制协议寻优,得到依赖于网络拓扑图拉普拉斯矩阵的最优控制器.其次,为进一步最大限度地减少拓扑之间的连边,又不降低多智能体系统的收敛速度,通过权衡系统的通信能量和控制能量,寻求网络拓扑的优化设计,给出了拓扑优化算法和多智能体系统特征值的优化方法.最后,仿真研究验证了在控制器优化的基础上进一步寻求拓扑优化,可大大提升系统的一致性性能. 【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2019(036)005
【总页数】8页(P720-727)
【关键词】多智能体系统;一致性;控制器优化;拓扑优化
【作 者】马丹;张宝峰;王璐瑶
【作者单位】东北大学信息科学与工程学院,流程工业综合自动化国家重点实验室,辽宁沈阳110819;东北大学信息科学与工程学院,流程工业综合自动化国家重点实验室,辽宁沈阳110819;东北大学信息科学与工程学院,流程工业综合自动化国家重点实验室,辽宁沈阳110819
【正文语种】中 文
红河学院学报
1 引言
多智能体性能优化的评价指标为一致性收敛速度或综合考虑一致性收敛速度及系统能耗的综合性能.而性能优化采用的主要方式为控制器优化或拓扑优化[1].其中控制器的选取决定了智能体之间是如何进行交互的,进而达到各自的控制目标.如果从这方面进行优化,则可以提高智能体的交互方式,降低相应的交互量,进而优化系统的综合性能.而拓扑优化是通过优化智能体之间的连边或者连边上权重来达到系统性能的提升.
拓扑信息是系统性能优化的一个重要的组成部分,其中多智能体系统通信拓扑图的第二小特route命令
征值的大小是决定一致性收敛速度的一个重要的指标[2].文献[3-5]中指出当拓扑图是连通平衡图时,一阶积分系统能达到平均一致,并且此条件为系统一致性的充要条件.文献[6]针对有向图,利用随机矩阵知识验证了当通信拓扑图中含有有向生成树时,多智能体系统能达到一致性收敛.以上文献介绍了拓扑图的不同特性对多智能体一致性收敛的影响.通过提升通信拓扑图的第二小特征值提升一致性的收敛速度也取得了一些进展[7-8].关于控制器的优化能提高系统的综合性能的研究工作采用线性二次型理论.文献[9-11]利用线性二次型理论,在特殊的条件限制下,得到了分布式最优控制器.文献[12]考虑了环形拓扑的一致性问题,并选取特殊的性能指标,得到最优控制器.文献[13]针对跟踪控制问题,证明了在星型拓扑的条件下,得到特殊性能指标下所对应的最优控制器.文献[14]针对一般的多智能体系统,利用线性二次型调节器(linear quadratic regulator,LQR)优化控制与Riccati方程的结合,给出最优控制器存在的充分条件,所得的最优控制器结构与拓扑的信息密切关联.然而,虽然控制器的形式相同,但是在不同的拓扑结构下,得到的优化效果不同,主要原因是拓扑可变可优化的.因此,本文将在文献[14]的基础上,寻求拓扑的优化设计.为进一步最大限度地减少拓扑之间的连边,又不降低多智能体系统的收敛速度,本文通过在系统的通信能量和控制能量之间进行权衡,寻求拓扑的优化设计,给出拓扑优化算法和多智能体系统特征值的优化方法.最后仿真验证了控制器与拓扑协同优化对提升系统一致性性能的重要性.
2 问题描述
汉字输入码考虑n个智能体组成的多智能体系统
其中:智能体i的状态xi(t)∈R1,控制协议ui(t)∈R1,i=1,2,···,n;a和b是已知的标量参数.
系统(1)可以写成如下的矩阵形式:
且A=aIn,B=bIn.
在多智能体系统(2)中,把每个智能体抽象化为图的顶点,用G=(V,E)来表示含有n个顶点的图,其中V={v1,···,vn}是图的顶点集,而E={e1,e2,···,em}是图的边集.对于任意一条边(vi,vj)⊂E,如果都存在(vj,vi)⊂E,则称为无向图,反之则称为有向图.
定义拉普拉斯矩阵L=[lij],其中
本文研究无向拓扑,即L是对称矩阵.L也可以表示为L=D−A,D=[dij]为图的度矩阵,其中
在无权图的情况下,邻接矩阵A对应的是一个仅含有0,1元素的矩阵,即A=[aij],其中
3 控制器优化
对于系统(2),在无向拓扑图下,考虑控制器的优化,选取如下的性能指标[14]:
其中:aij是加权邻接矩阵A第(i,j)个元素,系数满足c>0,d>0,e>0,r>0.
注1 在性能指标(3)中,第1项表示单个智能体与其相连的所有智能体状态的平均值之差的平方项,能够加快智能体与邻居的整体性的收敛.第2项表示单个智能体分别与每一个相邻智能体的状态差平方项再求和,反应的是智能体与每一个邻居之间的趋同性,加快智能体的局部收敛性.第3项为单个智能体的状态以及控制输入量,前一项使响应的状态最小,增强整体的稳定性,后一项获得最小的控制能量,使系统达到一致.
性能指标(3),可改写成如下标准的LQR形式:
有线电视技术其中Q=cL2+dL+eIn.由于L为对称半正定矩阵,则Q为对称半正定矩阵,R=rIn为正定矩阵.
定理1[14] 对于系统(2),保证性能指标(3)最小化的控制器为
当c>0,且如下的条件
yni
成立时,则有最优的反馈增益矩阵K为
此时,对应的最优状态方程为
4 拓扑优化
对于系统(2),在满足性能指标(3)的情况下,设计最优反馈控制律,进一步进行拓扑优化,最大限度地提高系统性能,是本文的设计目标.由定理1可知,式(7)给出的最优反馈控制器增益K依赖于拓扑网络拉普拉斯阵L,那么进一步的优化拓扑,能否最大限度的提升系统的性能呢?此部分的设计优化过程回答了这个问题.
4.1 预备知识
拓扑设计问题主要是拓扑和相应性能指标的选择匹配问题.在给出主要结果之前,先给出两个引理.
引理1 对于系统(8),令当通信拓扑为无向连通图时,相应的拓扑信息描述矩阵L的秩rank(L)=n−1.设矩阵L的特征值为λi,矩阵S的特征值为λsi,则:
其 中:,i∈ 1,2,···,n,并且,矩阵L和S具有相同的正交转换矩阵
且系统(8)中所有智能体最终状态为
证 因为通信拓扑图是无向且连通的,所以其对应的Laplacian矩阵L为对称矩阵,那么由矩阵理论可知,对称矩阵一定可以对角化.设矩阵L的特征值为λi,i∈ 1,2,···,n,那么矩阵L的对角矩阵Λ可以表示成如下形式:
根据无向连通拓扑图Laplacian矩阵的性质可得rank(L)=n−1.并且λi满足
VRF因为矩阵S与矩阵L形式相同,同为对称矩阵,所以一定能被对角化.设其对角矩阵为Λs,对角元素为λsi,i∈ 1,2,···n,则矩阵S的对角矩阵Λs可以表示为如下形式:
其中:,i∈ 1,2,···,n,且λsi满足
因为矩阵L一定可以对角化,因此假设其变换矩阵为P,对P中的向量做正交处理可得
由对角矩阵Λ和变换矩阵P可得
把方程(15)代入矩阵S,可得
由于P为正交矩阵,则方程(16)可写为
进而方程(17)可写为
其中
在式(18)中,因为Λs为S的对角矩阵,那么S的正交转换矩阵为P,又因为P为L的正交转换矩阵,因此S和L拥有相同的正交转换矩阵.
另外,对方程(8)求解可得
其中:,x(0)为状态x(t)的初始状态.
结合方程(18)-(19)可得
由方程(13)可得λsi>0,那么当t→∞时,指数项趋近于0,即
证毕.
注2 引理1中的结论,将在优化矩阵L特征值中使用.
注3由引理1,当系统方程退化成(t)=−Lx(t),并且控制器退化成u(t)=−Lx(t)时,系统状态最终趋向于初始状态的平均值,即
这与文献[2]结论一致.
引理2 对一元三次方程a1x3+b1x2+c1x+d1=0,其中.化为首1形式得x3+kx2+mx+n=0.令x=y−k/3,则有y3+py+q=0,其中p=−k2/3+m,q=(2(k/3)2)−(km/3)+n.由 此,可得一元三次方程的3个根分别为
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