二维模型的半隐式差分

王安忆天香

二维模型的半隐式差分

如果按全隐式差分直接从时间层k 求出下一时间层k+1时的浓度，则需要求解一个n ×m 维的线性方程组。设想在k 和k+1时间层加入一个过渡时间层k+0.5，从k 到k+0.5时只在x 方向上求解，需解m 个n 维的线性方程组；然后再从k+0.5到k+1时只在y 方向上求解，需解n 个m 维的线性方程组。这样，就把方程的维数大大降低了。实际上相当于把二维问题转化成一维问题求解。

本法亦称为交替隐式解法，或P-R 交替方向法。本法是无条件稳定收敛的。

对二维方程简化式Kc y

M x c M y c u x c u t c y x y x -∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂2222

从k 到k+0.5时间层采用以下差分式：

222

,15.0,2

,,1,222

5.0,15.0,5

.0,122

BASE MHGLL1

,,5

.0,15.0,,5.0,k j

i k j i k

j i k j i k j i k j

i k j i k j i k

j i k j i k j

i k j i k

i k j i c c c y c c c y c x c c c

x c y

c c y c x

c c x c t c c t c -+-++-+++-+-+++≈

∆+-≈∂∂∆+-≈∂∂∆-≈∂∂∆-≈∂∂∆-≈∂∂

代入二维微分方程，经整理得：客户联盟

j i k j i k j i k j i c c c ,5.0,15.0,5.0,1δγβα=⋅+⋅+⋅++++-

式中，

j i k j i k j i k j i y k j i k j i k j i y j i x

x x x

x c K t c y c c u y

c c c M x u x

M K x M t x u x

M ,1,1,,2

1,,1,,222

22/22

22/1

---+-∆+∆--∆+-=∆+

∆-=+

∆+∆=∆-∆-

=δγβα

对每一个j ，方程j i k j i k j

i k j i c c c ,5.0,15

.0,5

.0,1δγβα=⋅+⋅+⋅++++-从i=1到i=n 组成一个n 维线性方

程组，相当于一个一维问题。解出这m 个n 维线性方程组，可求出k+0.5时间层的浓度分

布。

而从k+0.5到k+1时间层则采用以下差分式：

222

/5.01

,1,2

,1,11,2

5.0,15.0,5.0,12

,1,5

0,15.0,5

.0,1,+-++-++++-++++-++-++++≈

∆+-≈∂∂∆+-≈∂∂∆-≈∂∂∆-≈∂∂∆-≈∂∂k j i k j i k j i k j i k j i k j

i k j i k j i k j i k j i k j

i k j i k j

i k j i c c c y c c c y c

x c c c x c

c c y c x

c c x c t c c t c

代入二维微分方程，经整理得：

j i k j i k j i k j i c c c ,11,1,11,δγβα=⋅+⋅+⋅++++-

式中，

.01,5

.0,5

.0,15.0,2

.0,15.0,5.0,1,2

22/1+-++-++-+++-

∆+

∆--∆+-=∆+

∆-

∆+∆=∆-

∆-

=k j i k j

i k j

i k j i x

k j

i k j i k j i x

j i y y y y y c K t c x

c c u x c c c M y

u y M K y M t y

u y M δγβα

对每一个i ，方程j i k j i k j i k j i c c c ,1

1,1

1,δγβα=⋅+⋅+⋅++++-从j=1到j=m 组成一个m 维线性方程组，相当于一个一维问题。解出这n 个m 维线性方程组，可求出k+1时间层的浓度分布。但注意到j=0和j=M+1是左右两岸，可认为c(i,0)=c(i,1),c(i,M+1)=c(i,M)。

方程的解法与一维问题本同，都用追赶法三对角线方程。

定解条件为初始浓度和边界浓度（t=0时的各点浓度和t=k 时的边界浓度，可以只有上边界浓度）：

松下m1000⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=====k

j n k j n k

m i k

i k i k j k j j

i j i c t y x c c t y x c c t x c c t y c c y x c ,,00,,00

,),,(),,(),0,(),,0()0,,( 以上式子中：

报表系统

毛集论坛n ——沿河流纵向(X 向)的分段数；

m——沿河流横向(Y向)的分片数；

L——预测的时间分片数；

i——沿河流纵向(X向)的河段序号；

j——沿河流横向(Y向)的分片序号；

k——预测的时间分片序号；

Δx——河段长度,m；

Δy——河段宽度,m；

Δt——时间间隔长度,s；

M x——河流纵向混合(弥散)系数，m2/s；

M y ——河流横向混合(弥散)系数，m2/s；

u x——河流纵向平均流速，m/s；

u y——河流横向推流平均流速，m/s；

K ——河流中污染物降解速率，1/d。

在二维方程的简化过程中，我们已经假设u x和M x不随x变化，而u y和M y也不随y变化。但对于每一个网格单元（i,j），可有相应的K值。

本文发布于:2024-09-22 01:16:24，感谢您对本站的认可！

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