一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。在绝大多数情况下，这些偏微分方程无法得到精确解；而CFD就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值解，或称近似解。当然这些近似解应该满足一定的精度。目前，主要采用的CFD方法是有限差分法和有限体积法。本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积法的基础[1]。 有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。 由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似导数的一种方法。 设有的解析函数，从微分学知道函数对的导数为
（2-1）
、分别是函数及自变量的微分，是函数对自变量的导数，又称微商。相应地，上式中的、分别称为自变量及函数的差分，为函数对自变量的差商。在导数的定义中是以任意方式逼近于零的，因而是可正可负的。在差分方法中，总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：
向前差分
向后差分
中心差分
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为。以前向差分为例，有
qyg （2-2）
依次类推，任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差商为
一阶向后差商为
一阶中心差商为
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二阶差商多取中心格式，即
图2.1 差商与导数的关系
差商与导数的关系可见图2.1。由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
现以一阶向前差商为例来分析其精度。将函数在的邻域作Taylor展开：
将上式代入一阶向前差商表达式中，有
这里符号表示与括号中的量有相同的量级。上式表明一阶向前差商的逼近误差与自变量的增量为同一量级。把中的指数作为精度的阶数。这里，故一阶向前差商具有一阶精度。由于是个小量，因此阶数越大精度越高。采用同样的办法可知一阶向后差商也具有一阶精度。
对于一阶中心差商，将函数与在的邻域作Taylor展开并代入一阶中心差商的表达式中，有
（2-3）
可见一阶中心差商具有二阶精度。同样，二阶中心差商的精度也为二阶。
2.2 差分方程、截断误差和相容性
从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相
图2.2 网格划分
应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。现以对流方程（2-4）为例，列出相对应的差分方程。
（2-4）
用差商近似代替导数时，首先要选定和，称为步长。然后在坐标平面上用平行于坐标轴的两族直线：
划分出矩形网格，如图2.2所示。这里和取常数。直线称为第层，网格交叉点称为结点。
网格点划定后，就可针对某一结点，例如图2.2中的结点，用差商近似代替导数。现用表示括号内函数在点的值，则对流方程在该点为
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（2-5）
如果时间导数用一阶向前差商近似代替：
空间导数用一阶中心差商近似代替：
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则对流方程在点对应的差分方程为
（2-6）
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数的误差为，用空间中心差商代替空间导数时的误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，这一误差可由Taylor展开确定，即
（2-7）
这种用差分方程近似代替微分方程所引起的误差，称为截断误差。这里误差量级相当于的一次式、的二次式。
一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为
（2-8）
这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-9）
初始条件是一种定解条件，差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。将式（2-9）中第时间层的量放在等号左边，将其余时间层的量放在等号右边，有
（2-10）
摩门教称其为FTCS格式（时间前差、空间中差）。若时间和空间都用向前差分，则得
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同样，将第时间层的量放在等号左边，将其余时间层的量放在等号右边，有
（2-12）
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