想象一下，你的任务是：根据已有的历史时间数据，预测未来的趋势走向。作为一个数据分析师，你会把这类问题归类为什么？当然是时间序列建模。 从预测一个产品的销售量到估计每天产品的用户数量，时间序列预测是任何数据分析师都应该知道的核心技能之一。常用的时间序列模型有很多种，在本文中主要研究ARIMA模型，也是实际案例中最常用的模型，这种模型主要针对平稳非白噪声序列数据。 时间序列概念
时间序列是按照一定的时间间隔排列的一组数据，其时间间隔可以是任意的时间单位，如小时、日、周月等。通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象发展变化的规律，并将这些知识和信息用于预测。比如销售量是上升还是下降，是否可以通过现有的数据预测未来一年的销售额是多少等。
1 ARIMA（差分自回归移动平均模型）简介
模型的一般形式如下式所示：
1.1 适用条件
●数据序列是平稳的，这意味着均值和方差不应随时间而变化。通过对数变换或差分可以使序列平稳。
●输入的数据必须是单变量序列，因为ARIMA利用过去的数值来预测未来的数值。
1.2 分量解释
●AR(自回归项)、I(差分项)和MA(移动平均项)：
●AR项是指用于预测下一个值的过去值。AR项由ARIMA中的参数p定义。p值是由PACF图确定的。
●MA项定义了预测未来值时过去预测误差的数目。ARIMA中的参数q代表MA项。ACF图用于识别正确的q值
●差分顺序规定了对序列执行差分操作的次数，对数据进行差分操作的目的是使之保持平稳。ADF可以用来确定序列是否是平稳的，并有助于识别d值。
1.3 模型基本步骤
1.31 序列平稳化检验，确定d值
对序列绘图，进行 ADF 检验，观察序列是否平稳（一般为不平稳）；对于非平稳时间序列要先进行 d 阶差分，转化为平稳时间序列
1.32 确定p值和q值
(1)p 值可从偏自相关系数（PACF）图的最大滞后点来大致判断，q 值可从自相关系数（ACF）图的最大滞后点来大致判断
(2)遍历搜索AIC和BIC最小的参数组合
汪昱妻子1.33 拟合ARIMA模型 (p,d,q)
1.34 预测未来的值
2 案例介绍及操作
基于 1985-2021年某杂志的销售量，预测某商品的未来五年的销售量。
2.1 序列平稳化检验，确定d值
青少年科技报平稳性概念
假定某个时间序列是由一系列随机过程生成的，即假定时间序列的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
●均值u是与时间t无关的常数；
●方差是与时间t无关的常数；
●协方差rk是只与时间间隔K有关，与时间t无关的常数
则称改随机时间序列是平稳的，而该随机过程是平稳随机过程。
ADF思路
白噪声的过程是：
对于白噪声序列，基本是在均值附近较为平均的随机震荡。它满足正态分布，均值与方差都是与时间t无关的函数，它满足平稳性要求。
随机游走的过程是：
对于随机游走，可以看到比白噪声平滑很多，并且呈现出一些“趋势性”的感觉。它的均值为0，方差与时间t有关，他不满足平稳性要求。
而随机游走的一阶差分是平稳的：
dds信号源
如果一个时间序列是非平稳的，它常常可以通过取差分的方法而形成平稳序列。
ADF 大致的思想就是基于随机游走的，对Xt回归，如果发现p=1，说明序列满足随机游走，就是非平稳的。
下图是通过spsspro软件生成：
如何确定该序列是否平稳呢？
（1）临界值检验梦游地狱
临界值1%、5%、10%不同程度拒绝原假设的统计值和假设检验值t进行比较，t同时小于1%、5%、10%即说明非常好地拒绝该假设
（2）显著性检验p<0.05
本数据中，原序列的 ADF 假设检验值t为1.814， 大于三个level的统计值，所以是非平稳的。而一阶差分序列的 ADF 假设检验值t为-3.156，小于三个level的统计值，再来看显著性p的值为0.023<0.05，所以是平稳的。
经过二阶差分，与一阶差分相比，只是在显著性程度上扩大了，因此对于该序列，采用一阶差分比较合适。一般情况下，采用一阶、二阶差分就可以使序列变得平稳。
所以差分阶数d=1
2.2 确定p值和q值
2.21 绘制ACF 、PACF图
先来介绍几个概念：
拖尾和截尾
拖尾，顾名思义，就是序列缓慢衰减，“尾巴”慢慢拖着滑下来，或者震荡衰减
而截尾则是突然截断了，像个悬崖，指序列从某个时点变得非常小
专业点来说呢，就是：
如果样本自相关系数和样本偏自相关系数在最初的阶明显大于2倍标准差（下图虚线），而后几乎95%的系数都落在2倍标准差的范围内，且非零系数衰减为小值波动的过程非常突然，通常视为k阶截尾。
如果有超过5%的样本相关系数大于2倍标准差，或者非零系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或连续，通常视为拖尾。
自相关系数（ACF）
自相关系数度量的是同一事件在两个不同时期之间的相关程度，形象的讲就是度量自己过
去的行为对自己现在的影响。在这里可以通过自相关系数（ACF）图的最大滞后点来大致判断q 值。
偏自相关系数（PACF）
计算某一个要素对另一个要素的影响或相关程度时，把其他要素的影响视为常数，即暂不考虑其他要素的影响，而单独研究那两个要素之间的相互关系的密切程度时，称为偏相关。在这里可以通过偏自相关系数（PACF）图的最大滞后点来大致判断p 值。
下图是通过spsspro软件生成：
差分数据自相关图（ACF）差分数据偏自相关图（PACF）
从上图可以看到：趋势序列 ACF 有 1 阶截尾，PACF 有 1 阶截尾尾。因此可以选 p=1， q=1。
通过拖尾和截尾对模型定阶，具有很强的主观性。
2.22 AIC、BIC准则
AIC 准则全称是最小化信息量准则
其中 L 表示模型的极大似然函数， K 表示模型参数个数。
当样本容量很大时，采用BIC贝叶斯信息准则
其中 n 表示样本容量。
通过比较不同差分阶数的AIC、BIC的值，取两者最小值p、q
从评价准则的结果看：p = 0， q = 1 时，两者值最小，AIC为251.973，BIC为256.724。
2.3 拟合ARIMA模型 (p,d,q)
由上述步骤，我们已知d=1，p=0，q=1，故拟合模型为ARIMA（0,1,1）
采用多元线性回归，得到y(t)=4.996+0.671*ε(t-1)
2.4 预测
使用该公式，得到未来五年的杂志销量分别为285.097、290.093、295.089、300.085、305.081。
3 案例工具实现
3.1使用工具
SPSSPRO—>【预测模型—>时间序列分析（ARIMA）】
3.11 案例操作
Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；
中国农民专业合作社网
step4：选择【时间序列分析（ARIMA）】；
step5：查看对应的数据数据格式，【时间序列分析（ARIMA）】要求输入１个时间序列数据定量变量。
step6：选择向后预测的期数。
step7：点击【开始分析】，完成全部操作。
3.12 分析结果解读
以下生成的结果来源于SPSSPRO软件的分析结果导出，SPSSPRO输出的结果中会给出智能解读结果，直接查看智能分析：
输出结果 1：ADF 检验表
图表说明：该序列检验的结果显示，基于字段年度销量:
在差分为 0 阶时，显著性 P 值为 0.998，水平上不要呈现显著性，不能拒绝原假设，该序
列为不平稳的时间序列。 在差分为 1 阶时，显著性 P 值为 0.023，水平上呈现显著性，拒绝原假设，该序列为平稳的时间序列。
在差分为 2 阶时，显著性 P 值为 0.000，水平上呈现显著性，拒绝原假设，该序列为平稳的时间序列。
（注意：在理论上，足够多的差分运算可以充分提取原时间序列中的非平稳确定性信息。但进行差分运算需要注意的是，差分运算的阶数不是越多越好。差分是对信息的提取、加工的过程，每次差分都会有信息的损失，所以差分的阶数需要适当，以免过度差分。）
输出结果 2：最佳差分序列图
图表说明：由于一阶差分后序列进行单位根检验的 P 值小于 0.05，说明一阶差分后序列是平稳数据，上图展示了原始数据 1 阶差分后的时序图。
输出结果 3：最终差分数据自相关图（ACF）
图表说明：由自相关图可知，一阶自相关系数很明显地大于 2 倍标准差范围，自一阶自相关系数后，其余自相关系数都在 2 倍标准差范围以内，我们可以判断自相关图为截尾。
输出结果 4：最终差分数据偏自相关图（PACF）
图表说明：由偏自相关图可知，一阶偏自相关系数很明显地大于 2 倍标准差范围，自一阶偏自相关系数后，其余自相关系数都在 2 倍标准差范围以内，我们可以判断偏自相关图为截尾。
输出结果 5：模型参数表
图表说明：由于通过自相关分析和偏自相关分析来判断 ARIMA 的参数存在人为主观性，SPSSPRO 基于 AIC 信息准则自动寻最优参数，模型结果为 ARIMA 模型（0,1,1）检验表，基于字段：年度销量，从 Q 统计量结果分析可以得到：Q6 在水平上不呈现显著性，不能拒绝模型的残差为白噪声序列的假设，同时模型的拟合优度 R2 为 0.981，模型表现优秀，模型基本满足要求。（注意：一般来说，只检验前 6 期和前 12 延迟的 Q 统计量（
即 Q6 和 Q12）就可得出残差是否是随机序列的结论。这是因为平稳序列通常具有短期相关性，如果一个短期延迟序列值之间不存在显著的相关关系，通常延迟之间就更不会存在显著的相关关系。）
输出结果 6：模型残差自相关图（ACF）
图表说明：上图展示了模型的残差自相关图，（ACF）若相关系数均在虚线（2 倍标准差）
内，自回归模型（AR）残差为白噪声序列，时间序列要求模型残差为白噪声序列。很明显，残差的自相关系数均在虚线内。
输出结果 7：模型残差偏自相关图（PACF）
图表说明：上图展示了模型的残差偏自相关图（PACF），若相关系数均在虚线内，滑动平均模型（MA）残差为白噪声序列，时间序列要求模型残差为白噪声序列。很明显，残差的
大部分偏自相关系数均在虚线内，即便第 9 阶与第 14 阶超过了 2 倍标准差，这可能是由于偶然因素引起的。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议