有限差分法

一、单变量函数：

用中心差分法（matlab程序见附录）计算结果如下：

图1 中心差分法

图2 绝对误差

表1 数据对比

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
精确解y	0	0.070467	0.14264	0.21824	0.29903	0.38682	0.48348	0.59099	0.71141	0.84696	1
数值解y	0	0.070489	0.14268	0.2183	0.29911	0.3869	0.48357	0.59107	0.71148 肥料登记管理办法	0.847	1
绝对误差	0	2.2E-05	4E-05	6E-05	8E-05	8E-05	9E-05	线粒体8E-05	7E-05	4E-05	0
									涨潮海岸

小结：可见由中心差分法解本算例，其绝对误差数量级为

二、一维热传导：

在此取φ(x)=0，g1(t)= g2(t)=100-100*exp(-t)

问题描述：

已知厚度为l的无限大平板，初温0度，初始瞬间将其放于温度为100度的流体中，流体与板面间的表面传热系数为一常数。

试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

(1) 显式差分法：

图3 显式差分法

(2) 隐式差分法：

图4 隐式差分法

小结：显式格式仅当时格式是稳定的。（其中称为网格比）

隐式格式从k层求k+1层时，需要求解一个阶方程组。而且隐式格式的稳定性对网格比没有要求，即为绝对稳定的。

三、Possion方程：

取f=1,R=1

图5差分法

图6 误差

小结：观察误差曲面，其绝对误差数量级为

附Matlab程序：

第1题：

%===========================Boundary Value Problem 1

clear;clc;

A=[-2.01 1 0 0 0 0 0 0 0;

1 -2.01 1 0 0 0 0 0 0;

0 1 -2.01 1 0 0 0 0 0;

0 0 1 -2.01 1 0 0 0 0;

0 0 0 1 -2.01 1 0 0 0;

0 0 0 0 1 -2.01 1 0 0;

0 0 0 0 0 1 -2.01 1 0;

0 0 0 0 0 0 1 -2.01 1;

0 0 0 0 0 0 0 1 -2.01;];

c1=[0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7;0.8;0.9];

C=0.01*c1-1*[0;0;0;0;0;0;0;0;1];

y=A\C;

x=0:0.1:1;

yn=[0;y;1];

ye=2*(exp(x)-exp(-x))/(exp(1)-exp(-1))-x;

figure(1);

plot(x,yn,'*',x,ye);

legend('numerical solution','exact solution')

xlabel('x','fontsize',20);

ylabel('y',皖西学院学报'fontsize',20);

set(gca,'fontsize',18);

figure(2);

err=abs(ye'-yn);

plot(x,err);

legend('error')

xlabel('x','fontsize',20);

ylabel('y','fontsize',20);

set(gca,'fontsize',18);

第2题：

%========================Boundary Value Problem 1_Explicit

%显式

clear;clc

l=20;%板厚

h=1;%步长

J=l/h;

T=50;%时间

tao=2.5;%步长

N=T/tao;

%下面组合A矩阵

a=0.2;

lamda=tao/(h^2);

zhu=1-2*a*lamda;

ce=a*lamda;

a00=ones(1,J-1);

a0=diag(a00);

A0=zhu*a0;

a01=ones(1,J-2);

a1=diag(a01,1);

A1=ce*a1;

a2=diag(a01,-1);

A2=ce*a2;

A=A0+A1+A2;

u(:,1)=0; %板的初始温度

for i=2:N+1

u(1,i)=100-100*exp(-(i-1)*tao); %边界条件

u(J+1,i)=100-100*exp(-(i-1)*tao); %边界条件

hca

end

% g01=u(:,1);

% g02=u(:,J);

for k=1:N

% g01=ce*g1(1,k);

% g02=ce*g2(1,k);

oo=zeros(J-3,1);

g(:,k)=[ce*u(1,k);oo;ce*u(J+1,k)];

u(2:end-1,k+1)=A*u(2:end-1,k)+g(:,k);

end

t=0:h:l;

x=0:tao:T;

mesh(x,t,u)

xlabel('t','fontsize',20);

ylabel('x'间戊二烯,'fontsize',20);

zlabel('T','fontsize',20);

set(gca,'fontsize',18);

%========================Boundary Value Problem 1_2Implicit

%隐式

clear;clc

l=20;%板厚

h=1;%步长

J=l/h;

T=50;%时间

tao=2.5;%步长

N=T/tao;

%下面组合A矩阵

a=0.2;

lamda=tao/(h^2);

zhu=1+2*a*lamda;

ce=-a*lamda;

a00=ones(1,J-1);

a0=diag(a00);

A0=zhu*a0;

a01=ones(1,J-2);

a1=diag(a01,1);

A1=ce*a1;

a2=diag(a01,-1);

A2=ce*a2;

A=A0+A1+A2;

u(:,1)=0; %板的初始温度

for i=2:N+1

本文发布于:2024-09-21 04:24:50，感谢您对本站的认可！

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