2011年江苏省南通市高考数学二模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 曲线y＝x3−2x在点(1, −1)处的切线方程是________．
2. 若1+5i
3−i
=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=________．
3. 命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题（填“真”、“假”之一）．
4. 把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．
5. 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为________分．
6. 设M={a|a=(2, 0)+m(0, 1)}，m∈R和N={b|b=(1, 1)+n(1, −1)}，n∈R都是元素为向量的集合，则M∩N=
________．
7. 在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=________．
8. 设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+
a13=________．
9. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n； ②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．
10. 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，当x∈[3, 5]时，f(x)=2−|x−4|．下列四个不等关系：
莱镇香格里f(sinπ
6)<f(cosπ
6
)；
f(sin1)>f(cos1)；
f(cos2π
3)<f(sin2π
3
)；
f(cos2)>f(sin2)．
其中正确的个数是________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2−y2
3
=1的左、右焦点，△ABC
的顶点C在双曲线的右支上，则sinA−sinB
sinC
的值是________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1, y1)、Q(x2, y2)，定义：d(P, Q)=|x1−x2|+ |y1−y2|．已知点B(1, 0)，点M为直线x−2y+2=0上的动点，则使d(B, M)取最小值时点M的坐标是________．
13. 若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则x
y +z
t
的最小值为________．
14. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →
=λOA →
scaler
+μOB →
，则λ2+(μ−3)2的取值范围是________．
数学II （附加题）【选做题】本题包括21，22，23，24四小题，请选定其中两题作答，每小题0分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．三、【选修4-1：几何证明选讲】 15. 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点
M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100∘，∠BPC =40∘，求∠MPB 的大小．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB =BC =AC =4，PA =PC =2√2．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG // 平面EBO ．
17. 已知函数f(x)=2cos x 2(√3cos x 2−sin x
2)． (1)设θ∈[−π2，π
2]，且f(θ)=√3+1，求θ的值；
(2)在△ABC 中，AB =1，f(C)=√3+1，且△ABC 的面积为√32
，求sinA +sinB 的值． 18. 在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的左、右顶点分别
为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为2√2
3
，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；
(3)若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．
19. 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．
20. 设定义在区间[x 1, x 2]上的函数y =f(x)的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向
量OA →
=（x 1, f(x 1)），OB →
=(x 2,f(x 2))，OM →
=(x, y)，当实数λ满足x =λ x 1+(1−λ) x 2时，记向量ON →
=λOA →
+(1−λ)OB →
．定义“函数y =f(x)在区间[x 1, x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“|MN →|≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．
（1）设函数 f(x)=x 2在区间[0, 1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围； （2）求证：函数g(x)=lnx 在区间[e m , e m+1](m ∈R)上可在标准k =1
8下线性近似．
（参考数据：e =2.718，ln(e −1)=0.541）
21. 已知数列{a n }满足a 1+a 2+...+a n =n 2(n ∈N +)． （1）求数列{a n }的通项公式；
了不起的女汉子（2）对任意给定的k ∈N +，是否存在p ，y ∈N +(k <p <r)使1a k
，1a p
，1
重奖a r
成等差数列？若
存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为a n 1，a n 2，a n 3． 四、【选修4-2：矩阵与变换】 22. 已知二阶矩阵A ＝[
ab
cd
]，矩阵A 属于特征值λ1＝−1的一个特征向量为a 1＝[1#/DEL/#−1#/DEL/#]，
属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 1＝[3#/DEL/#
2#/DEL/#]．求矩阵A ．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)．以直角坐
标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π
4)=2√2．点P 为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24. 设正数a，b，c满足a+b+c＝1，求1
3a+2+1
3b+2成都体育学院图书馆
+1
3c+2
的最小值．
七、【必做题】（共2小题，满分0分）
25. 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO．
(1)若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
(2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．
26. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）求恰好得到n(n∈N∗)分的概率．
2011年江苏省南通市高考数学二模试卷答案
电伴热
1. x−y−2＝0
2. −8
25
3. 真
4. 26
27
5. 2
6. {(2, 0)}
7. 12
8. 105
9. ①③④⇒②（或②③④⇒①）
10. 1
11. −1
2
12. (1,3
2
)
13. 1
50
14. (2, +∞)
15. 选修4−1：几何证明选讲，
解：因为MA 是圆O 的切线，所以MA 2=MB ⋅MC 又M 是PA 的中点，所以MP 2=MB ⋅MC 因为∠BMP =∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC 于是∠MPB =∠MCP ，
在△MCP 中，由∠MPB +∠MCP +∠BPC +∠BMP =180∘， 即100∘+2∠MPB +40∘=180∘； 得∠MPB =20∘
16. （1）证明：由题意可知，△PAC 为等腰直角三角形，△ABC 为等边三角形． 因为O 为边AC 的中点，所以BO ⊥AC ，
因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BO ⊂平面ABC ，所以，BO ⊥面PAC ．
因为PA ⊂平面PAC ，故BO ⊥PA ．在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，故OE // PC ，∴ OE ⊥PA ，
又BO ∩OE =O ，所以，PA ⊥平面EBO ．
（2）证明：连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点， 所以
AO OG
=2． 又Q 是△PAB 两条中线的交点，故Q 是△PAB 的重心，
于是，
AQ QF
=2=
AO OG
，所以，FG // QO ．
因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以，FG // 平面EBO ． 17. 解：(1)f(x)=2√3cos 2x
2−2sin x
2cos x
2 =√3(1+cosx)−sinx =2cos(x +π
6)+√3．
由2cos(θ+π6)+√3=√3+1，得，cos(θ+π6)=1
2， 于是θ+π
6=2kπ±π
3(k ∈Z)， 因为θ∈[−π
2，π
2]，所以θ=−π
2或π
6. (2)因为C ∈(0, π)，由(1)知，C =π
6，
因为△ABC 的面积为√32，所以√32=12absin π
6，于是ab =2√3，① 在△ABC 中，设内角A ，B 的对边分别是a ，b ，
由余弦定理得，1=a 2+b 2−2abcos π
6=a 2+b 2−6，所以a 2+b 2=7，②
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