张昊，陈丽，周平方，王晓亮，段登平
（上海交通大学航空航天学院，上海200240）
摘要：本文以多螺旋桨组合浮空器为研究对象，建立了该浮空器的非线性动力学模型，采用雅克比线性化的方法获得了该浮空器纵向运动的线性变参数(LPV)模型。将得到的LPV模型离散后存储于一张量中，利用高阶奇异值分解（HOSVD，higher order singular value decomposition）进行多胞变换，得到有限个LTI顶点系统，从而获取到浮空器的LPV多胞表示。然后采用求解线性矩阵不等式(LMI)的方法求得满足各个顶点稳定性要求的状态反馈控制器，最后得到了满足整个工作空间的鲁棒变增益H ∞
控制器，并针对非线性模型进行前飞速度跟踪，仿真结果证明该设计方法的有效性。
关键词：多螺旋桨组合浮空器；矢量推力；多胞LPV系统；高阶奇异值分解；H ∞
状态反馈；
中图分类号：V411.8 文献标识码：A
Polytopic LPV System Based Control Design for Multi-propeller aerostat
ZHANG Hao，CHEN Li
(School of Aeronautics and Astronautics, Shanghai Jiao Tong University Shanghai 200240, China) ABSTRACT：A aerostat with multi-propeller was proposed in this paper, the nonlinear dynamic model was established and the longitudinal model is transformed into a LPV form by Jacobian linearization method. Firstly, discrete the given LPV system within the interzone of the changing parameters and storing it into a tensor, and then using HOSVD to obtain a finite number of LTI vertex systems, then the state-feedback controller satisfying H
∞
performance was designed in each vertex using linear matrix inequalities(LMIs)
approach, finally a robust variable gain H
∞
controller is synthesized via convex decomposition techniques. The velocity tracking based on nonlinear model was carried out with the designed controller, simulation results illustrate the validity of the designed controller.
KEYWORDS：Multi-propeller aerostat; Vectored thrust; LPV; HOSVD; H
∞
State feedback;
1 引言
浮空器具有垂直起降、无动力悬停、长航时滞空及载荷能力大等优点，近几年成为空间飞行器研究的热点[1]。但是浮空器也存在着体积较大、惯性大、操作响应滞后等特点，同时由于受环境和风场的影响，浮空器模型具有参数不确定性和时变性等特性[2]，对其控制研究带来新的挑战。
由于浮空器的动力学特性是高度非线性的，所以一般的线性控制方法不能满足系统的性能要求[3]。有关线性变参数（linear parameter varying，LPV）系统的研究得到了控制界的许多关注。LPV系统可以描述许多实际系统内在的非线性和时变特性，能够使用线性控制理论的方法解决非线性系统的问题，进而设计变增益控制器，变增益控制方法具有实用性强，设计相对简单，同时能保证在工作区间
内系统稳定等优点[4]。关于LPV的建模有很多方法，常见的有雅克比线性化法（Jacobian Linearization），状态替换法（State Transformations）以及函数替换法（Function Substitution），由于雅克比线性化法对非线性系统的表示形式没有特殊的要求，所以在许多非线性系统中得到应用[5]。目前，基于LPV系统的变增益控制策略在航空航天领域得到了广泛的应用，例如导弹，民用飞机，高超声速飞行器和小型飞艇[6]等。而且现在与其他先进控制理论结合也越来越紧密，有着很大的应用空间[7]。
本文以某多螺旋桨组合浮空器为对象，采用无舵面设计，建立了该浮空器的非线性动力学模型，采用雅克比线性化的方法建立了浮空器纵向运动的LPV模型。将系统矩阵在参数的变化区间内离散化组成张量，对其进行高阶奇异值分解得到有限个顶点模型，得到浮空器LPV多胞系统，然后采用LMI方法求得各个顶点满足稳定性要求的鲁棒H
∞
状态反馈控制器，再利用多面体顶点特性得到了鲁棒变增益控制器。在浮空器非线性模型中进行了前飞速度跟踪控制仿真，仿真结果证明了控制器在该浮空器上的有效性。
2 浮空器动力学模型
2.1 浮空器介绍
浮空器外形结构如图1所示，外形介于水滴形和球形之间，长径比为0.5，和球形浮空器相比，其前进阻力系数较小；和水滴形飞艇相比，其侧向阻力系数减少，提高了侧向抗风能力。该浮空器沿直径对称配置四个矢量螺旋桨，浮空器坐标系的原点为浮心，坐标轴与螺旋桨轴呈45安装，这样可以提供更大的机体轴向推力。吊舱位于囊体下方一定的距离，从而提高浮空器的姿态稳定性。
设备舱
推力1
y
x
z
推力2
推力3
推力4
图1 浮空器外形及总体布局
由于每个螺旋桨都具有推力和矢量转角两个控制输入，所以整个浮空器存在八个控制输入，因此整个系统属于冗余驱动系统，可以实现位置和姿态独立控制要求；同时可以通过控制分配实现可重构控制系统设计。 2.2 浮空器动力学建模
浮空器受力情况与飞艇类似，主要受到重力、浮力、流体惯性力、空气动力和螺旋桨推力及相应的力矩。利用牛顿-欧拉方法，在机体坐标系下建立浮空器的动力学方程，表达式如下[8]：
GB A I T mx F F F F =+++ (1)
其中等式左边[]
T
x u v w
p q
r =为
浮空器的状态量，[]T
u v w 为浮空器速度在机体坐标系下各轴上的分量，[]T
p q r 表示角速度分量。m 为质量矩阵，其表达式为：
011
000220260033035004405305506206600
0000000
000
G G G G G G
G G x xy xz
G G
xy y yz
G G xz
yz
z m m m z m y m m m z m m x m m m y m mx m m z m y I m I I m z m m x I I m I m y m m x I I I m +-⎡⎤⎢⎥+-+⎢⎥
⎢⎥+-=⎢
⎥
-+--⎢
⎥⎢⎥--+-⎢
⎥
-+--+⎢⎥
⎣
⎦
这里ij m 为浮空器的附加质量，x I ，y I ，z I ，
真实性故事xy I ，yz I 和xz I 为浮空器转动惯量，具体表达式可参
考文献[9]。等式右边GB F ，A F 和I F 分别为浮空器所受到的重浮力，气动力，流体惯性力。其表达式可参考文献[10]。
2.3 矢量推力分解
建立矢量推力局部坐标系，如图2所示，定义螺旋桨朝上即z 轴负方向为0，螺旋桨在与矢量转轴垂直的平面内运动，(14)i i μ=为矢量螺旋桨的旋转角，转角范围为180~18-，(1,2,3,4)i f i =为螺旋桨产生的推力，最大推力为20N ，最大速度为8/m s 。在矢量转动平面内，矢量推力可以分解为正交的两个力iH f 和iV f 。它们与矢量推力大小和矢量转角的关系为：
sin cos iH i i iV i i
f f f f μμ==- (2)
将两个力iH f 和iV f 分解到坐标轴上，得到六维推力和推力矩，如图3所示：
f iH
f iV µi
f i
-180°0°
90°
-90°
180°
图2推力局部坐标系
x
O
y
f 2H
f 1H f 4H
f 3H Rp
f 1y
f 1x
f 2x
f 2y
f 4y
f 4x
f 3y
f 3x
45°
图3 水平推力分解
因为四个螺旋桨为浮空器坐标轴成45对称配置，因此螺旋桨的水平分力在机体坐标系下沿x 轴和y 轴分量大小为：
2
sin
42ix iH iH f f f π
==
2
cos 42
iy iH iH f f f π==
因此合成推力和力矩表达式如下：
1234123412341234123412342
()22()
2
2
()22()2
()x H H H H y H H H H z V V V V x V V V V P y V V V V P
x H H H H P f f f f f f f f f f f f f f f m f f f f R m f f f f R m f f f f R =
⋅+++=⋅-++-=+++=
⋅+--⋅=⋅-++-⋅=----⋅ (3)
其中P R 为螺旋桨安装位置到体心的距离。 3. 基于多胞模型的状态反馈控制 3.1 LPV 模型
如公式（2）所示，矢量推力螺旋桨的分解后的输出力是实际推力大小和矢量转角的三角函数的乘积形式，螺旋桨推力大小的变化线性较强，推力转角线性区域较小，使整个系统的线性域相对较小。本文采用雅克比线性化方法来获取非线性系统LPV 模型。通过变参数表示系统的非线性和时变性。
首先，在工作区域内选取一定数量的平衡点进行雅克比线性化，则可以得到一系列LTI
系统。这些LTI 系统覆盖感兴趣的工作区域，得到原非线性系统局部近似，最后将这些线性化的模型进行数值拟合即可得到LPV 模型。
由文献[10]可知可以将浮空器进行纵向和横侧向解耦，本文将主要研究浮空器的纵向运动。
纵向状态变量[]T
L x u w q θ=，控制量为[]1
2
3
4
1234T
L U f f f f μμμμ=，将
纵向模型进行一阶Taylor 展开有：
1111
222233333u w q u w q u w q mu k u k w k q U mw k u k w k q U mq k u k w k q k U q θθθ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=⋅∆+⋅∆++⋅∆+⎧⎪
=⋅∆+⋅∆+⋅∆+⎪⎨
=⋅∆+⋅∆+⋅∆+⋅∆+⎪⎪=∆⎩
(4)
其中上述方程左边为各方向合力及力矩，[]T
x u w q θ∆=∆∆∆∆为各状态变量。系
数项x k ∆为各项相对于状态变量x 的导数，i U 为控制输入项对状态变量求一阶导之后的值。
通过（4）式可以将纵向非线性动力学方程描述成线性空间表示形式
L L L L L mx A x B U =+
选取浮空器机体坐标系下前飞速度u 作为调度变量，根据浮空器自身推力能力大小，选取浮空器在巡航时的速度范围作为工作区域，前飞速度范围为2~6/m s 。将浮空器按前飞速度范围分别选取2~6/u m s =五个平衡点进行线性化在进行拟合有：
1123000000000666.94440
01
0L a a A ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
2526272835363738222200002222000000000000
0L b b b b B b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
其中：
1102.2277a u =- 23082.8147a u =
22500.2625b u = 22600.2625b u = 22700.2625b u = 2280
0.2625b u = 23500.5217b u =- 2360
0.5217b u = 2370
0.5217b u = 2380
0.5217b u =- 纵向运动动力学LPV 模型表示为：
()()L L L L L mx A u x B u U =+ (5)
3.2 LPV 模型的多胞变换
LPV 系统的稳定性分析和控制器综合是基于在变参数轨迹上的一组LMI ，控制器可以由LMI 的解来构
造，如果能够保证在整个变参数轨迹上LMI 有解，则控制器就能保证闭环系统的稳定性和一定的性能指标，但是这需要在变参数轨迹上求解无穷个LMI ，这显然是难以实现的。如果所研究的LPV 系统具有多胞结构，由于多胞形属于凸集，它可以由顶点完全描述，那么在进行稳定性分析和控制器设计时，只需要对其顶点设计即可，因而可以大大减少计算量，同时可使用控制器获得连续的增益并具有全局特性。对于一般的LPV 模型的多胞表示，文献[11]提出了一种基于张量积转换的方法，其主要思想是将LPV 模型的变参数进行网格划分，然后把系统离散化组成张量，进而对其进行高阶奇异值分解，最后计算分解得到LTI 顶点系统的权函数。
考虑浮空器的LPV 系统，式（5）表示为：
[](())(()),(())S p t A p t B p t = (6) 式（6）表示一个时变对象，式中，()p t P ∈是
一个一维的参数变量，是闭空间体
[]min max ,P u u =的一个元素；(())S p t 可以利用任意的变参数()p t 与LTI 系统(1,)r S r R =的凸组合进行逼近，r S 也称为顶点系统，因此通过定义权系数函数[](())0,1r p t ω∈，使得(())S p t 表示成r S 的凸组合形式。这种凸组合通过张量积形式表示为：
1
()()(())()N
n n n x t x t S p t u t ω=⎡⎤
≈⊗⎢⎥⎣⎦
(7) 式中，行向量(())(1,
,)
n I n n p t R n N ω∈=包含权系数函数[],(())0,1n
n l n p t ω∈表示定义在紧集P 的第n 维的第j 个单位变量权系数函数，()n p t 表示向量()p t 的第n 元素，
(1,,)
n I n N =表示权系数的维数大小。2N +维张量1
2
I I O I S R ⨯⨯⨯⨯∈是由LTI 顶点系统
12
N
O l i i i S R ⨯∈组成的。
式（7）所表示的系统只是原系统的近似，
它原LPV 系统的误差如（8）式所示，误差与LTI 顶点系统的个数成反比，因此如果选择LTI 顶点系统的个数为无限大，则可以精确逼近原系统。一般情况下，选择有限个LTI 顶点系统进行分析和设计。
1
(()(())N
n n S p t S p t ωε=-⊗≤ (8)
假设[]12
,,
,,(1,,)N
r r r i i i S A B S r R ===，
定义权系数函数为：
,(())(())n r n t r n
p t p t S ωω=∏ (9)
根据以上分析，浮空器LPV 系统的多胞表示分为以下几个步骤进行：
step1：建立浮空器的LPV 模型，如（5）式所示；
step2：将待分解的LPV 模型离散化，主要包括以下过程：
(1)定义变参数空间P ：[]min max (),p t P u u ∈=；
(2)对变参数空间P 进行任意的网格划分，通常采用平均划分的方法‘
(3)在划分好的参数空间上离散给定的函数(())S p t ；
(4)将离散化后的一系列矩阵存储于张量S 中。
step3：提出LTI 顶点系统。此步骤为整个过程的核心部分，主要是对张量S 应用高阶奇异值分解，通过舍弃0或者很小的奇异值，以及与之对应的奇异值向量，得到有限个LTI 系统模型。
step4：构造权系数函数，得到控制器。 3.3 鲁棒H ∞状态反馈控制器求解
在（8）式描述的LPV 系统多胞模型中，对每一个顶点对应的系统模型设计H ∞最优状态反馈控制率。本文将对浮空器的前向速度进行控制，需要将纵向模型进行增广，为了将目标信号引入到系统中，并准确跟踪到给定的前飞速度c u ，将前飞速度误差的积分()c u u dt -⎰选取为状态变量。
外部输入信号w 选择为速度输入指令c u ，故系统增广之后各变量为：
()T
L c x u w q u u dt θ⎡⎤=-⎣⎦
⎰ []1
2
3
4
1234T
L U f f f f μμμμ=
[]c w u =
为了保证速度跟踪的准确性，同时也需要保证执行机构的输出在能力范围内，不出现超调，所以评价指标z 选择为：
[]12341234T
c z u u f f f f μμμμ=- 在每一顶点处考虑浮空器增广纵向系统（4）寻增益调度状态反馈控制器
r U K x
=，使得闭环系统： 2111211()(10)()r r r r r r r r
x A B K x B z C D K x D ω
ω=++⎧⎨
=++⎩ 稳定。根据文献[12]通过求解线性矩阵不等式的方法可以得到H ∞最优状态反馈控制率。如果时变参数序列()p t 在n R 空间的盒子中屈指有R 个顶点，即{}1R
i i =∏，对于系统矩阵(6)，根据权系数函数定义式(9) 111
(),0,1R
R R i i i p t ωωωω==∏+
∏≥=∑ (11)
则系统矩阵可表示为
11()()()R R S p S S ωω=∏+∏ (12) 因此，参数依赖控制器表示为
():()()K p x A p x B p u δδδ=+ (13) 并且有如下的顶点性质：对于给定的当前时变参数()p t 的凸分解1()R
i i i p t ω==∏∑，控制器
包场中学由参数顶点的凸组合求解，即
1(())(())R
i i i K p t K p t ω==∑ (14)
3.4 非线性仿真与分析
将浮空器LPV 模型进行多胞形转换，得到3个顶点模型以及调度参数权函数，三个顶点为：
1-0.3622 0 0 5.8691 0 0 4.4886 0 0.1181 0 0 -3.4681 0 0 1 0 A ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2-0.1190 0 0 5.8691 0 0 1.4741 0 0.038 0 0 -3.4681 0 0 1.0000 0 A ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3-0.2406 0 0 5.8691 0 0 2.9813 0 0.0784 0 0 -3.4681 0 0 1.0000 0A ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10.0191 0.0191 0.0191 0.0191 0.1661 -0.1661 0.1661 -0.1661 0 0 0 0 0.0855 0.0855 -0.0855 -0.0855-0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0981 0.0981 -B =0.0981 0.0981 0 0 0 0 0 0 0 0⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
20.0191 0.0191 0.0191 0.0191 0.0175 -0.0175 0.0175 -0.0175 0 0 0 0 0.0090 0.0090 -0.0090 -0.0090-0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0104 0.0104 B =-0.0104 0.0104 0 0 0 0 0 0 0 0⎡⎤
调查：中小学生劳动教育脱离日常⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
30.0191 0.0191 0.0191 0.0191 0.0598 -0.0598 0.0598 -0.0598 0 0 0 0 0.0308 0.0308 -0.0308 -0.0308-0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0062 -0.0354 B = 0.0354 -0.0354 0.0354 0 0 0 0 0 0 0 0⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
调度参数如图所示：
0u
图4 变参数u 的权系数函数
得到增广矩阵所有参数矩阵之后，利用Matlab/LMI 控制工具箱求解三个顶点的线性矩阵不等式，为了简化计算取性能指标1γ=，得各顶点的控制器为：
根据公式（14）最终控制器为：
3
1
(())(())i i
i K p t p t K ω==∑
将（14）式代入非线性模型进行仿真。
在2/m s 的平衡条件下，对浮空器给出输入速度变化量指令0.8/c u m s =，仿真结果如图6所示，对应各执行机构输出如图7所示：
05
101520
2
2.22.42.62.83前飞速度 u (m /s )
time(s)
05
101520
1
2
3
4x 10
竖直速度 w (m /s )
time(s)
05
101520
-15
-
10-5
05
x 10
俯仰角速度 q (r a d /s )
time(s)
05
101520
-15
-10
-5
5
x 10
俯仰角 θ(r a d )
time(s)
图62/m s 条件下仿真结果
2
4
6
8
1012
14
16
18
20
012345
6time(s)
螺旋桨推力f (N )
2468
101214161820
-2-1
1
2螺旋桨转角μ(r a d )
time(s)
f1f2f3f4
μ1μ2μ3μ4
图72/m s 对应各执行机构输出
在4/m s 的平衡条件下，对浮空器给出输入速度变化量指令0.8/c u m s =，仿真结果如图8和图9所示：
5
1015
20
3.8
4
4.24.44.64.8
5前飞速度 u (m /s )
time(s)
5
1015
20
00.511.522.5
3x 10
竖直速度 w (m /s )
time(s)
5
1015
20
-
6
-4-202
4
x 10
俯仰角速度 q (r a d /s )
儿科护理学time(s)
05
10
1520
-5
5
10
x 10
俯仰角 θ(r a d )
time(s)
图84/m s 条件下仿真结果
2
4
6
8
1012
新加坡一航班折返14
16
18
20
45678910time(s)
螺旋桨推力f (N )
2468
101214161820
-2-1
1
2螺旋桨转角μ(r a d )
time(s)
f1f2f3f4
发电运行技术μ1μ2μ3μ4
图94/m s 对应各执行机构输出
从仿真结果可以看出，对于浮空器的非线性模型，利用所设计的控制器跟踪速度指令信号可以保证系统状态跟踪到指令信号，响应无超调，运动平滑，上升时间较小，且不会影响其他状态量的变化。同时由于通过加权函数的惩罚和约束，各执行机构输出量在最大限度范围以内，没有出现饱和。当系统的平衡状态发生改变时，控制器也能够根据实时可测的调度参数改变而变化，确保跟踪指令的有效性，保证了飞行过程中闭环系统的稳定性。 4 结论
本文引入某型无舵面多矢量推力浮空器，建立了螺旋桨矢量推力的模型和浮空器的非线性方程。新的浮空器系统由于采用矢量推力螺旋桨，使系统的线性域相对较小，因此本文首先利用雅克比线性化方法获得系统的LPV 形式，利用高阶奇异值分解的方法获得了LPV 系统的多胞系统，获得了LPV 系统的有限顶点，再利用多面体顶点综合设计了系统变参数在线变增益控制器。该方法不仅避免了复杂的非线性控制器设计过程，同时能保证在工作区间内系统稳定。仿真结果表明该方法通过加权函数可以抑制执行机构饱和，同时能有效的跟踪控制指令。 参考文献：
[1] 谭烨, 陈丽, 段登平. 平流层验证飞艇横
侧向模型辨识研究[J].计算机仿真,2012-8,29(8):85-88.
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