模糊逻辑
介绍
模糊逻辑是⼀种基于“真实度”⽽不是现代计算机所基于的“对或错”（1或0）布尔逻辑的计算⽅法。
模糊逻辑思想最早由加州⼤学伯克利分校的Lotfi Zadeh博⼠⾸先提出。Zadeh博⼠在研究计算机对⾃然语⾔的理解问题时，理解⾃然语⾔（正如⽣活中⼤多数其他活动，甚⾄是宇宙中的⼤多数其他活动⼀样）不容易转换为0和1的绝对项。（是否最终可以⽤⼆进制形式描述⼀切都是值得追求的哲学问题，但实际上，我们可能会使⽤许多数据想要让计算机处于介于两者之间的某种状态，那么通常就是计算的结果。）
模糊逻辑包括0和1作为极端的真实情况（或“事物的状态”或“事实”），但也包括介于两者之间的各种真实状态。
模糊逻辑相对来说更接近我们⼤脑的⼯作⽅式。我们汇总数据并形成许多局部事实，然后进⼀步汇总为更⾼的事实，这些事实⼜在超过某些阈值时引起某些进⼀步的结果，例如运动反应。在⼈⼯神经⽹络和专家系统中使⽤了类似的过程。
将模糊逻辑视为推理的真正⼯作⽅式可能会有所帮助，⽽⼆进制或布尔逻辑只是其⼀种特殊情况。
古典集合（也称为普通集、正集等）是具有清晰明确边界的集合。通常情况下我们使⽤的集合都是古典集合，例如{x | x> 0}表⽰⼤于0的实数集。尽管经典集合适合于各种应⽤，并且已被证明是数学和计算机科学的重要⼯具，但是它们并不能反映⼈类概念和思想的本质，⽽⼈类概念和思想往往是抽象的和不精确的。作为说明，从数学上讲，我们可以将⾼个⼦集表⽰为⼀个⾝⾼超过180cm的⼈的集合。如果我们让“⾼个⼦” ={⾝⾼|⾝⾼>180cm}，这就上述所⽰的集合。但这是代表我们通常的“⾼个⼦”概念的⼀种不⾃然且不充分的⽅式。⼀⽅⾯，经典集的⼆分性质将⼈分类在直觉上是不合理的。这种不合理来⾃于集合中包含和排除之间的急剧过渡。
与经典集相反，模糊集顾名思义，它是⼀个没有清晰边界的集合。也就是说，从“属于⼀个集合”到“不属于⼀个集合”的过渡是渐进的，这种平滑的过渡的特征在于⾪属函数，该函数在建模常⽤语⾔表达时为模糊集提供了灵活性，例如“⽔是热”或“温度⾼”。正如扎德（Zadeh）在1965年发表的开创性论⽂“模糊集”中指出的那样，这种定义不正确的集合或类“在⼈类思维中，特别是在模式识别，信息交流和抽象领域中起着重要作⽤”。 基本定义和术语
谭纶模糊集合定义
模糊集合与普通集合定义对应如图。
模糊集：给定⼀个论域U ，那么从U 到单位区间 [0,1] 的⼀个映射
称为U 上的⼀个模糊集，或U 的⼀个模糊⼦集。
μ:A U →[0,1]
在这个图象中，冷、暖和热是映射温度范围的函数。在这个刻度上的⼀个点有三个"真值"—分别对应着三个真值函数。对于展⽰的特定的温度，这三个真值可以被解释为把温度描述为，“相当冷”, “有些暖"和"不太热”。
通常情况会采⽤梯形，但在作模糊回归分析时则会选⽤三⾓形的归属函数。
在模糊逻辑的眼中，冷、暖和热之间是没有严格的界限的，也就是说某⼀种温度的⼤⼩并不完全归属于某⼀个类，⽽是以⾪属度(Degree of Membership)来衡量的。⽐如对于5摄⽒度的⽓温，⾪属于冷的⾪属度为0.7, 暖的⾪属度为0.3，⼤⾬的⾪属度为0.
将逻辑的输⼊数值(温度)转化成各个集合(冷、暖和热)的⾪属度的过程就叫做模糊化（Fuzzification）。 也是模糊逻辑的第⼀步。模糊集合的表⽰
模糊集可以记为A 。 映射（函数）μA (·) 或简记为A (·) 叫做模糊集A 的⾪属函数。 对于每个x ∈U ，μA (x ) 叫做元素x 对模糊集A 的⾪属度。 模糊集的常⽤表⽰法有下述⼏种：伊丽莎白辉煌年代
（1）函数描述法，也即给出⾪属函数的具体表达式。
（2）Zadeh 记法，例如
。分母是论域中的元素，分⼦是该元素对应的⾪属度。有时候，若⾪属度为0，该项可以忽略不写。
（3）序偶法，例如
玩牌绝技
，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的⾪属度。
（4）向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定⼀个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为⾪属度的向量式，如A =
(1,0.5,0.72,0) 。
模糊集合基本运算
模糊集合的交并补运算
模糊集合的交并补运算如下所⽰：
举例如下：
模糊关系
模糊关系矩阵
模糊关系矩阵如下：
模糊关系合成
模糊关系合成指的是由第⼀个集合和第⼆个集合之间的模糊关系以及第⼆个和三个集合之间的模糊关系得到第⼀个和第三个模糊关系的运
算。
牦牛骨
A =+x 11+x 20.5+x 30.6x 4
A ={(x ,1),(x ,0.5),(x .0.6),(x ,0)}
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模糊关系扩展原理
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