埃舍尔的矛盾空间
量子纠缠背后的故事（15）：玻的统计与德布罗意的波 ******
斯莱特要将波与粒子结合起来描述光子的想法是他的独创，却不是首创。在他之前，爱因斯坦就已经为同样的念头纠结了好几年。 1917年，爱因斯坦在他的辐射论文中提出光子有动量，是“实实在在”的粒子。原子在辐射时只能往一个特定的方向发射一个光子。我们之所以没法看到这样的景象，是因为日常的光源无论多小都有着太多太多的原子在同时辐射。它们随机地向四面八方发射光子，我们所看到的光便是一个球形的波。 这个解释与玻尔后来在BKS论文中所用的手法一致，他们都是将宏观世界的现象看作大样本的微观事件的综合。但是，这并非一定是微观事件的真实体现。所以玻-爱二者的思考区别在于：玻尔试图论证微观世界不遵从能量、动量守恒律，认为那只是宏观统计的平均结果；而爱因斯坦说的是微观世界的粒子过程在统计平均后看起来会是宏观的波动。
虽然玻尔的假想很快被实验否定，但爱因斯坦也无法自圆其说。他清楚，统计平均的解释可
以对付点光源的发光，却无法适用光作为波动的其它表现。尤其是杨氏1803年展示了光的干涉、衍射之后，光的波动说就已经完全确定，导致牛顿的微粒说销声匿迹。光作为粒子的运动无论有多大的样本、如何地统计平均也不可能出现干涉和衍射。从普朗克到玻尔的20多年间，正是这一点是物理学界顽固地抗拒光子概念的最大理由。即使光是由单个、实在的粒子组成，它也必须以某种形式具备波动性。这在经典物理中没有“对应”，只能再度寻新的理论。
与斯莱特后来的想法相似，爱因斯坦曾设想作为粒子的光伴随有一个鬼魅般的场（ghost field）。与粒子在特定时刻只处在空间一个点相反，这个鬼场同时弥漫整个空间，遵从麦克斯韦方程。原子辐射时会产生这样的场，以球面波传播光。即发射的光子是在这个鬼场的引导下运动，其在空间某个点出现的可能性由鬼场在该点的强度决定。这样，大量光子的集合会宏观地呈现出鬼场作为电磁波的形状和行为，包括干涉、衍射等波动特征。
虽然构想井井有条，爱因斯坦却无法为这个概念赋予严格的数学表述。他没有正式发表论文，只是在与洛伦兹、索末菲、埃伦菲斯特等朋友的信件往来中私下讨论。所以，在当时的学术界小圈子里，他的鬼场尽人皆知。
诺贝尔奖也为爱因斯坦的生活、工作环境带来正面变化。因为广义相对论的成功，在德国举国上下将他认作“德国物理学家”，纳德、斯塔克等人的攻击也随之偃旗息鼓。他又有了可以专心学术的环境，但与十年前谋求量子化麦克斯韦方程一样，他屡战屡败，在鬼场上也再度碰壁。于是，他又一次离开量子领域，转战统一场论，希望能取得比广义相对论更为辉煌的成果。
然而，在1924年的夏天，他接连收到两封不期而至的来信，将他的注意力又暂时地拉回到量子世界。
第一封信来自印度，作者是一位名叫玻（Satyendranath Bose）的年轻物理学家。他出生于印度的加尔各答，其家境尚可，从小接受了良好的教育。由于印度被英国控制，玻很难谋得像样的好职位，只能混迹于三流学校。在学术上，他与同事一起翻译爱因斯坦的著作，也自己发表过几篇不受人注意的论文。
玻
这一次，当玻投稿英国刊物的论文在审稿中被拒之后，他异想天开，直接给爱因斯坦写信，请求他将英文稿件翻译成德语，安排在德国著名的《物理学杂志》上发表。他在信中写道：“我们素昧平生，但我提出这个请求时丝毫不带踌躇。因为曾经从你的著述中获益匪浅，我们都是你的学生。”
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爱因斯坦经常收到这类素昧平生的作者来信，他却奇迹般地没有忽略这封信，而是用他很不娴熟的英文仔细阅读了论文。在短短的两页纸中，玻做到了爱因斯坦过去没能做到的事：完全从光子出发推导出黑体辐射的普朗克定律。
爱因斯坦1917年在辐射论文中第一次推导出普朗克定律，那是借助玻尔的原子模型，通过辐射体与辐射场的热平衡才获得成功。黑体空腔内部的辐射可以完全决定自己的平衡态状况，没必要依赖作为腔壁的原子。在普朗克之前，瑞利和爱因斯坦都曾只对空腔内部的电磁波进行统计分析，推导出瑞利定律，揭示了经典理论中的紫外灾难。
按照量子理论，空腔内的辐射不再是连续分布的电磁波，而是不同频率的光子。光子之间没有相互作用，那是一个物理学家熟悉的理想气体系统。用统计手段推导它的状态轻而易举。爱因斯坦和其他人都尝试过，却始终没能得出普朗克定律而只能得到近似的维恩定律。超生反应
玻声称他解决了这个问题，爱因斯坦自然不会掉以轻心。
预警机的作用在瑞利和爱因斯坦最早的经典推算中，他们通过数空腔内电磁波能形成的驻波数目来计算
各个频率的自由度，然后根据能均分定理得出能量分布。理想气体系统中相应的是要数出光子所能有的状态数目。就像一个盒子里有若干个小球，它们可以任意分布，不同的排列组合便是不同的状态，需要一一计数。
爱因斯坦发现玻在计数时耍了一个似乎不起眼的花招：如果将盒子里的两个小球彼此交换位置，本来应该是一个与原先不同的新状态，即使两个小球一模一样。玻则认为这样交换小球的位置会看不出区别，或者说可以忽略二者的区别，也就是小球（光子）互相交换位置时不改变状态。这似乎是一个非常低级的错误，可是这样一来，空腔内光子所能有的状态数目就大大减少了，最终的结果就出现了普朗克定律。
玻的论文对这一关键步骤没有作出解释，只是一笔带过。他后来承认他当时完全没有意识到这有什么新奇之处。
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爱因斯坦看出了玻的戏法，一时却也无法领悟其物理含义——玻的推导“很优雅但其实质却非常隐晦”。毕竟玻由此推导出了普朗克定律，其中必有合理之处。他立即依照玻的请求将稿件翻译成德语，推荐给《物理学杂志》，并附上一段译者注：“在我看来玻对普朗克定律的推导标志着一个重要的进展。他采用的方法还能导致理想气体的量子理论，
我会另外提供具体信息。”由于有爱因斯坦主荐，玻的论文立即被发表。
短短几个星期之后，爱因斯坦完全明白了玻算法背后的物理意义。他在自己“另外提供具体信息”的论文中表示，在量子世界中，粒子是“不可分辨”的：两个同样频率的光子就是完全相同的光子，无法分辨彼此。将这样的两个光子互相交换位置，前后没有任何区别，系统便不会改变状态。
这又是一个在经典物理中不存在“对应”的、量子世界独有的特性。爱因斯坦指出，这个不可分辨不仅仅是适用于作为辐射的光子，而是所有微观粒子——电子、原子——属于普遍性质。以此来看，麦克斯韦、玻尔兹曼的统计理论只适用于可分辨粒子的经典系统；在量子世界必须采用新的计数方法，即“玻-爱因斯坦统计”。
爱因斯坦之所以如此断言，在于他发现这个新的统计方法解决了另一个让他头疼的问题。十几年前，他通过对固体比热的量子计算证明当温度趋于绝对零度时，系统的自由度将一个个被“冻结”，导致整体的熵趋于零。遗憾的是，他当时的比热计算只适用于低温的固体、液体，而气体尤其是理想气体却不遵循这一规律。
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理想气体是物理学中的一个理想化模型，其中的粒子没有相互作用，也就不会像常规气体那样在低温时发生相变而成为液体或固体。无论温度如何降低，理想气体的自由度都没法被冻结，熵不会降为零。这违反了热力学第三定律。虽然这只是现实中不存在的模型，但爱因斯坦却一直放心不下。
他这时已经发现，如果采用新的量子统计，理想气体在温度趋于零时会发生一个奇妙的相变：大量粒子将“凝聚”在一起，不再以单个的粒子存在。在绝对零度，所有的粒子都进入这样的一个共同状态，不再有任何个体差异。这样，系统的熵便等于零，完全符合热力学第三定律。
这一在经典世界中不存在对应的量子奇迹，叫做“玻-爱因斯坦凝聚”。整整70年后的，玻-爱因斯坦凝聚终于在1995年被新一代的物理学家所证实，再一次凸显了爱因斯坦非凡的物理思考及其卓越远见。
处理玻来信之后不久，爱因斯坦又收到另一个小字辈的论文。有所不同，这一次的信来自近在咫尺的巴黎，是老朋友郎之万请求他帮忙定夺他的一个学生刚刚完成的博士论文。郎之万告诉说，这篇论文很有点奇怪，当初玻尔的原子模型也是很有点奇怪，他不敢轻易
下结论。
在1911年第一届索尔维会议上，与会物理学家没有留意他们下榻的旅馆里有一位19岁的法国小青年德布罗意（Louis de Broglie）。他当时只是他哥哥的小跟班。比他大17岁的哥哥在郎之万指导下刚获得博士学位，因导师赏识，他被邀请担任索尔维会议书记员。德布罗意不过是跟着他哥哥来看热闹。
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