一、中误差估值（也称中误差）：
n
m
]
[
∆∆
±
=
Δi（i=1，2，…，n） （6-8） 第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″；
第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度，即求中误差。
解：
由于m1<m2，可见第一组观测值的精度比第二组高。同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：观测值中误差m的绝对值与相应观测值S相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即
（6-10）
三、误差传播定律
【例】 丈量某段斜距S耐热钢焊接=106.28 m，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、，求斜距对应的平距D及其中误差。
解：平距
由于是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“d”得 再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值 因此，平距的中误差为：mD=±5 cm。则最终平距可表示为：D=105.113±0.050 m。
应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角
度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。
综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下：
列独立观测值函数式
对函数式进行全微分
写出中误差关系式
应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。
【例】 用长度为l=30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5 mm，求全长D及其中误差mD。
解：列独立观测值函数式
对函数式进行全微分
写出中误差关系式
则，全长的中误差为 mD =±
。误10 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式并计算中误差mD=10·m=10·5=±50mm。答案错误，原因在于错误地列出了函数式。
【例】设有函数式Z=y1+2y2+1，而y1=3x，y2=2x+2，已知x的中误差为mx，求Z的中误差。
七星之旅
解：若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则
函数Z的中误差
上面答案是错误的！这是因为y1和y2均是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。正确的做法是先将y1和y2代入函数式Z，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即
【例】 对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及其中误差。计算见表6-3。
表6－3 利用观测值的改正数计算观测值中误差
序号 | 观测值 L （m） | 改正数V（cm） | VV （cm） | 精度评定 |
1 | 251.52 | -3 | 9 | 最或是值： m 观测值中误差： cm 最或是值中误差： cm 观测成果：x=251.494±0.01 m |
2 | 251.46 | +3 | 9 |
3 | 251.49 | 0 | 0 |
4 | 251.48 | -1 | 1 |
5 | 251.50 | +1 | 1 |
Σ | [L]=1打破银行垄断257.47 | [V]=0 | [VV]=20 |
| | | | |
【例】 已知观测值分别为L1、L2、L3，其中误差分别为m1=±1″、m2=±2″、m3=±3″,则它们的权分别为：
取μ=1时，
取μ=4时，
取μ=36时，
【例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。设在A、B两点间进行水准测量，共设置了n个测站，各测站的高差分别为h1、h2、┅、hn，则A、B点间的高差hAB为
hAB=h1+h2+┅+hn （6-38）
若每个测站的高差中误差为m站，则根据误差传播定律可得hAB的中误差为
（6-39）
若设每测站的水准距离相等，均为s，则A、B间的水准测量距离SAB=n·s，由式（6-39）可得hAB的中误差
（6-40）
设，则式（6-40）变为。当SAB=1 km时，=m公里=μ，可见μ为每公里水准测量高差的中误差。因此，式（6-40）变为
（6-41低调奋进）
由式（6-39）和（6-41）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。
若取c个测站的观测高差中误差为单位权中误差μ，根据权定义式（6-37）和式（6-39），可得观测高差hAB的权为
（6-42）
若取c公里观测高差的中误差为单位权中误差m公里，根据定义权公式（6-37）和式（6-41），可得观测高差hAB的权为
（6-43）
由（6-42）和（6-43）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。
【例】 在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1、n2、┅、nn进行n批观测，得相应的算术平均值为L1、L2、┅、Ln，求 L1、L2 、┅、Ln的权。
解：设各观测值的中误差分别为m1、m2、┅、mn，且观测一次的中误差均为m，则
因此，相应的权为，再令，则，若取c=1，则
（6-44）
可见，在相同的观测条件下，算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。
设n个不等精度观测值L1、L2、…、L刀之歌n，相应的权分别为P1、P2、…、Pn，则最或然值（称为加权平均值）为
（6-45）
可以看出，当各观测值为等精度时，则权P1=P2=…=Pn=1，上式就与算术平均值计算式（6-31）相同。
下面根据式（6-45）推算加权平均值的中误差。设观测值L1、L2、…、Ln的中误差分别为m1、m2、…、mn，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为
（6-46）
由权定义式（6-37），有，代入式（6-46）可得
（6-47）
实际计算时，上式中的单位权中误差μ可用观测值的改正数来计算，其计算公式为
（6-48）
将式（6-48）代入式（6-47），可得加权平均值的中误差计算公式
（6-50）
【例】 如图6-3所示，从已知水准点A、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程Hi及水准路线长度Si（见表6-4），求E点的加权平均值及其中误差。
各条水准路线权： （由式6-43可得）
加权平均值：
加权平均值中误差：
则E点高程： HE=527.469±0.009 （m）
图6-3 不等精度水准路线
表6-4 不等精度高程计算表
观测路线 | E直线加速器点观测高程 Hi (m) | 观测路线长度 Si (km) | 观测高程权 | 观测值的改正数 (mm) | PVV |
1 | 527.459 | 4.5 | 0.22 | 10 | 22.00 |
2 | 527.484 | 3.2 | 0.31 | -15 | 69.75 |
3 | 527.458 | 4.0 | 0.25 | 11 | 30.25 |
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