2018年上海市各区初二期末压轴题图文解析
例 2018年上海市宝山区初二下学期期末第24题
观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现，某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系xOy有关研讨中，将到线段PQ所在的直线的距离为的直线，称为直线PQ的“观察线”，并称观察线上到P、Q两点的距离和最小的点L为线段PQ的“最佳观察点”． （1）如果P、Q，那么点A(1, 0)、B、C中，处在直线PQ的“观察线”上的点是_______；
（2）求直线的“观察线”的表达式；
（3）若M(0,－1)，点N在第二象限，且MN＝6，当线段MN的一个“最佳观察点”在y轴正半轴上时，直接写出点N的坐标；并按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，直接写出联结所围成的多边形的周长和面积． 图1
打开几何画板文件名“18宝山24”， 拖动点N在第二象限内的⊙M上运动，可以体验到，直线MN的两条“观察线”随点N的运动而变化．点击按钮“G是线段MN第六套幼儿广播体操的最佳观察点”，可以体验到，此时四边形MGNG′是60°角的菱形．
满分解答
（1）如图2，由P、Q，可知直线PQ//x南山转债轴．
与直线PQ间的距离等于的直线有两条，分别是y＝0和y＝2．
所以点A(1, 0)和点B处在直线PQ的“观察线”上．
（2）直线l：与x轴正半轴的夹角为30°，与y轴正半轴的夹角为60°．
如图3，设点E在y轴的正半轴上，设点E到直线l的距离EF＝，那么EO＝2．
过点E作直线l琼脂糖的平行线，就是直线l的一条“观察线”．
根据对称性，直线也是直线l的一条“观察线”．
图2 图3
（3）第一步，证明线段PQ的“最佳观察点”在线段PQ的垂直平分线上．
如图4，以直线PQ的“观察线”m为对称轴，作点P的对称点P′，联结P′Q与直线m的交点L，就是线段PQ的“最佳观察点”．
因为点L在线段P′P的垂直平分线上，
所以LP′＝LP．
所以∠1＝∠2．
根据等角的余角相等，得∠3＝∠4．
所以LP＝LQ．
所以点L在线段PQ的垂直平分线上． 图4
第二步，求点N的坐标．
如图5，作线段MN的垂直平分线，与y轴的正半轴交于点G，垂足为H，那么点G是线段MN的一个“最佳观察点”．
在Rt△MHG中，MH＝3，GH＝，由勾股定理，得MG＝．
所以∠HMG＝30°．
作NK⊥y轴于K．
在Rt△MNK中，∠NMK＝30°，MN＝6，所以NK＝3，MK＝．
所以OK＝MK－MO＝．
所以N．
第三步，求菱形MGNG′的面积和周长．
如图6，因为菱形的边长MG＝，所以菱形MGNG′的周长为．
因为Rt△MHG的面积为，所以菱形MGNG′的面积为．
图5 图6
例 2018年上海市宝山区初二下学期期末第25题
如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BC＝4，∠D＝90°，M、N分别是AB、DC的中点，过点B作BE⊥AC交射线AD于点E，BE与AC交于点F．
（1）当∠ACB＝30°时，求MN的长；
（2）设线段CD＝x，四边形ABCD的面积为阈值y，求y与x的函数关系式及其定义域；
（3）联结CE，当CE＝AB时，求四边形ABCE的面积．
图1
动感体验
打开几何画板文件名“18宝山25”， 拖动点D运动，可以体验到，AD随CD的增大而减小．当CE＝AB时，四边形ABCE是等腰梯形，△EBH是等腰直角三角形．
满分解答
（1）如图2，因为AD//BC，所以∠CAD＝∠ACB＝30°．
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝4，所以CD＝2．
由勾股定理，得．
如图3，因为MN是梯形ABCD的中位线，
所以MN＝＝＝．
图2 图3
（2）如图4，在Rt△ACD中， AC＝4，CD＝x，由勾股定理，得．
所以y＝S梯形ABCD＝＝＝．
定义域是0＜x＜4．
图4
（3）如图5，当CE＝AB时，四边形ABCE是等腰梯形．
此时对角线BE＝AC＝4．
【方法一】如图5，过点E作AC的平行线交BC的延长线于点H．
所以四边形ACHE是平行四边形．
所以AE＝CH．根据等底等高的三角形面积相等，得S△ABE＝S△ECH．
所以S四边形ABCE＝S△EBH．
因为BE⊥AC，所以BE⊥EH．
所以△EBH是等腰直角三角形，S教子一得△EBH＝8．所以S四边形ABCE＝8．
【方法二】如图6，因为BE⊥AC，
所以S四边形ABCE＝S△ABC＋S△AEC＝＝＝＝8．
图5 图6
例 2018年上海市崇明区初二下学期期末第24题
如图1，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程y2－2y－3＝0的两个根．
（1）求直线AC与直线AB的函数解析式；
（2）求证：直线AC与直线AB互相垂直；
（3）若点D在直线AC上，且DB＝DC，则直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 图1
动感体验
打开几何画板文件名“18崇明24”， 拖动点P在直线BD上运动，可以体验到△ABP的顶点A、P可以落在对边的垂直平分线上，点B可以两次落在对边的垂直平分线上．
满分解答
（1）解方程y2－2y－3＝0，得y1＝3，布谷鸟2010y2＝－1．所以B(0, 3)，C(0, －1)．
由A、C(0, －1)，得直线AC的解析式为．
由A、B(0, 3)，得直线AB的解析式为．
（2）如图2，在Rt△ABO中，OA＝，OB＝3，所以AB＝2．
在Rt△ACO中，OA＝，OC＝1，所以AC＝2．
在△ABC中，AB＝2，AC＝2，BC＝4，所以AB2＋AC2＝BC2．
由勾股定理逆定理，得△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°．所以AC⊥AB．
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