纳米机器人2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--
，{|2x B x =，则(A B == )
A ．1[,3]
2
B ．1[,1]
2
C ．1
[3,]
2
-D ．[2，3]
2．（5分）欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足()i e i z i π+= ，则||(z =)
A ．1
B
．
2
C
．
2
D
3．（5分）若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
，则2z x y =-的最小值是(
)
A ．5-
B ．4-
C ．7
D ．16
4．（5分）已知()f x 为奇函数，当0x <；时，2()(x f x e ex e -=-是自然对数的底数），则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是( )
A ．y ex e =-+
B ．y ex e
=+C ．y ex e
=-D ．11
(22y e x e e e
=--+
5．（5
分）若cos801m ︒︒=，则(m =)
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4
-6．（5分）已知函数()tan()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<；的图象关于点(,0)6
π
成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2 π
上海市交通港口局，则下列叙述正确的是()
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x 图象的对称中心为(,0)()6
k k Z π
π+
∈C ．函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6
π
得到D ．函数()f x 的递增区间为(
,)()2326
k k k Z ππππ-+∈7．（5分）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”
魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是( )
①由图1和图2面积相等可得ab d a b =+；②由AE AF 可得2222a b a b ++
；③由AD AE 222
112a b a b
++
；④由AD AF 可得222a b ab + ．
A ．①②③④
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③
8．（5分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目
进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如表：
扶贫项目A
B
C
贫困户
甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有()
A ．24种
B ．16种
C ．10种
D ．8种
9．（5分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为(
)
A ．24π
B ．(183)π+
C ．21π
D ．(1842)π
+10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(3,0)D 的直线交抛物线C 于点A ，B ，若||||13FA FB -= ，则(
FA FB = )
A ．9-
B ．11-
C ．12-
D ．3
11．（5分）若关于x 的不等式224ax a x lnx ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是(
集团经济研究)
A ．(23ln -，22]ln -
B ．(,22)ln -∞-
C ．(-∞，23]ln -
D ．(,23)
ln -∞-12．（5分）在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等
于3
π
，::3:4:5AB AC BC =，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则(
PO
OQ
=)A ．
14
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13．（5分）已知向量a
和b 满足|||2|2a a b =-= ||1a b -= ，则a b =
．
14．（5分）三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于
．
分离定律
15．（5分）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，
点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为
．
16．（5分）已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ，sin B ，
sin C 成等比数列，sin()B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：
（1）C =；
（2）
tan tan A
B
=．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足22
1232
n n
n b b b b +⋯= ．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足cos()n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．
18．（12分）如图（1），在矩形ABCD 中，E ，F 在边CD 上，BC CE EF FD ===沿BE ，AF 将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图（2）
．
（1）试判断图（2）中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值．
19．（12分）已知椭圆C 的方程为22143
x y +
=，斜率为1
2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点3
(1,)2
P 在直线l 的左上方．
（1）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；（2）求证：PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上．
20．（12分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如表： 汉阙市场销售状态
畅销平销滞销市场销售状态概率(01)
p <<2p
13p
-p
方案A 700400400-方案B
600
300
100
-（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？
（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为x （万件），通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y （万元）为3211
8101603y x x x =-++，实行方案B 时新
产品的年度总成本2y （万元）为3221
3201003
y x x x =-++．已知0.2p =，20x ．若按（1）
的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t （
元)分别为60，3
604
x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当x 取何值时，新产品年利润的期望取得最
大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．
21．（12分）已知函数()sin (x f x e x e =是自然对数的底数）．（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0,)π上的零点个数．（参考数据2
4.8)
e π≈请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个
题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin (129
cos sin 55x y ϕϕ
ϕϕϕ=-⎧⎪
⎨=+⎪⎩
为参数）．以坐标原点
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin()3
π
ρθ+=．
（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，(2,0)M ，求||||MP MQ +的值．[选修4-5：不等式选讲]
23．已知不等式|1||35|x x m -+-<；的解集为3
(,)2pasco
n ．
（1）求n 的值；
（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，证明：222222
2b c c a a b a b c
+++++ ．
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