概率论是研究随机现象规律性的数学学科，概率是随机事件发生的可能性大小的度量；统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学，它可以为人们制定决策提供依据.学会收集、整理和分析数据，从生活中的随机性问题分析出内在的稳定性，提升学生的数学抽象、数据分析、数学建模及数学运算和逻辑推理等素养，是高中阶段学生学习计数原理、概率与统计的基本要求.历年高考中考查计数原理、概率与统计多以基础题、中档题出现，考查的重点是古典概型、计数原理、二项式定理、样本估计总体等主干知识. 2020年高考，山东省、海南省分别首次使用教育
部考试中心命制的不分文、理科的新高考全国Ⅰ卷和新高考全国Ⅱ卷；北京市、上海市、天津市、浙江省、江苏省仍为自主命题，且都不分文、理科，共5套数学试卷；其余各地区均使用教育部考试中心命制的全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷的文、理科数学试题，共3套6份试卷.因此，2020年的高考共有10套13份数学试卷，每份试卷都对计数原理、概率与统计
进行了考查.本文将对13份试卷中的计数原理、概率与统计的考查情况进行分析，总结试题特点和规律，以便对2021年复习备考提供参考.
一、考查内容分析
2020年高考命题以《中国高考评价体系》为指
南，落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持知识为基、能力为重、素养导向和价值引领的命题原则，充分发挥了数学试题的区分选拔功能和正确导向作用.2020年计数原理、概率与统计试题以科学的生产生活情境为背景，通过创新试题情境，着重考查了学生的数学阅读理解和信息整理能力，以及数学抽象、数据分析、数学建模和数学运算等核心素养.试题在保持总体稳定的前提下，大胆创新，既突出了数学的通用性和基础性，又体现了数学的文化价值，彰显了育人功能.
统计表明，2020年计数原理、概率与统计的考查特点，主要体现在以下几个方面.
收稿日期：2020-10-22
基金项目：人民教育出版社课程教材研究所“十三五”规划课题——基于核心素养的高中数学教学评价与测试研究（KC-2018-003）．作者简介：周远方（1962—），男，正高级中学高级教师，湖北省特级教师，苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学课程、教材、教学和评价研究．
2020年高考“计数原理、概率与统计”
专题命题分析
摘
要：2020年高考数学对计数原理、概率与统计的考查，通过真实问题情境，落实五育并举，
体现时代特，充分发挥了概率与统计内容的育人价值.命题立足基础，贴近教材，注重通性、通法，突出统计思维，考查关键能力，充分展示了数学在生活中的科学价值、应用价值和文化价值.试题体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，科学实现了本专题内容的甄别功能和积极导向作用，对今后复习备考有良好的指导价值.
关键词：高考数学；概率与统计；计数原理；命题分析；复习建议周远方1
（1）注重考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法的基础题.例如，古典概型、样本数据的计算、二项式定理特定项系数的计算等问题.
（2）注重考查计数原理、独立事件概率的计算等稍具综合性的中档题.
（3）突出科学价值和育人功能的情境题.例如，种子发芽率问题、工厂加工决策问题、空气质量问题、信息熵问题等.
在2020年的13份高考数学试卷中，关于概率、统计与计数原理的试题，客观题主要考查样本数据的计算、选择和数学建模，以及二项式定理等内容.主观题则通过实际应用考查数据处理和数学运算等为主.突出应用性的同时，重在考查学生建立模型、分析和处理数据的能力，有效地检测了学生对统计推断、数学建模等数学思想与方法的掌握程度.
1.考点布局合理，题型一应俱全
2020年全国各地高考试题总体来看，对概率、统计与计数原理的覆盖面广，既重点考查了古典概型、建立概率模型、二项式定理等必备知识，又通过处理样本数据、用频率估计概率、样本估计总体和独立性检验等知识载体，有效地考查了学生的基本数学思想方法、关键能力和学科素养.从题型上看，选择题、填空题、解答题三种题型，一应俱全.
2.题量分值各异，文、理科差异减小
2020年的13份数学试卷中，涉及概率、统计与计数原理的试题，大多数试卷保持大小兼顾，只有上海卷和浙江卷中没有出现解答题，具体分布情况如表1所示.
表1：概率、统计与计数原理试题分布与分值统计一览表
卷型
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
上海卷
北京卷
全国新高考Ⅰ卷科别
理
文
理
文
理
文
——
——
—
—
题型
选择题
选择题
解答题
选择题黑龙江省畜牧研究所
选择题
解答题
选择题
填空题
解答题
选择题
解答题
选择题
填空题
解答题
选择题
解答题
填空题
填空题
选择题
解答题
选择题
选择题
选择题
解答题
题号
5
8
19
4
5
17
3
14
18
4
18
3
14
18
3
18
6
9
3
18
3
5
12
19
内容
回归模型选择
二项式定理
独立事件与对立事件的概率计算
古典概型
回归模型选择
古典概型、利用平均数决策
建立概率模型
计数原理
样本估计总体、相关系数、抽样方法
建立概率模型
样本估计总体、相关系数、抽样方法
平均数和方差的计算
二项式定理
频率分布表、独立性检验
方差的计算
频率分布表、独立性检验
中位数、平均数的计算
分组分配问题
二项式定理求系数
频率估计概率、独立事件的概率计算
分步乘法计数原理
事件的关系及概率计算
新定义题
古典概型、列联表
分值
22
22
22
17
22
17
9
18
27
统计表明，三套全国卷的文、理科相关试题数量及分数值差异不大，其中全国Ⅰ卷文、理科及全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷的理科均为“两小一大”，全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷文科均为“一小一大”，分值在17~22分之间.其他试卷题量各不相同，客观题数量从一道到三道，主观题数量从零道到一道，各有差异，分值6~ 27分
各不相同.
由于在《普通高中数学课程标准（实验）》和考试大纲中，文、理科对于概率、统计与计数原理的要求有所差别，同时新高考相较原来课程内容有一定的更新，导致对应的文、理科试卷有较多的姊妹题出现，同时又存在一定的差异；各卷试题虽然题量分值差异较大，但试题的背景及知识点同根同源.
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中对于概率、统计与计数原理的考查不再有文、理分科的区别，因此全国6份试卷中文、理科完全相同的题量增加，传递了新高考命题文、理科同题的信号.
3.总体难度稳定，突出通性、通法
2020年高考数学试题根据学科特点，科学调控试卷难度，充分体现了“低起点、多层次、高落差”的科学调控策略.13份数学试卷中的概率、统计与计数原理试题总体难度平稳、层次清晰，突出对基础知识、基本思想和关键能力的考查；情境真实，背景丰富，突出运用概率与统计知识和方法考查理性思维、数学应用等学科素养的特点.例如，全国Ⅰ卷文科试题将概率问题的考查从18题变为17题，其中第（1）小题考查的是利用频率估计概率的问题，第（2）小题考查的是利用平均数来进行决策的问题，两道小题的设计都遵循低起点和低难度，从数学概念、数学方法等方面入手，面向全体学生，体现注重考查基础知识、回归教材的特点.这些做法充分体现了在考查必备知识的基础上，突出对通性、通法
的考查.
二、命题思路分析
2020年高考数学概率、统计与计数原理试题，面向全体学生，以丰富的背景为依托，重点考查学生的数据分析、数学建模、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.命题重视计数原理、概率与统计的重点内容和主干知识，加大对核心概念和思想方法的考查力度；命题在遵循基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求的同时，加大对试题情境的创新力度，多数试题背景源于社会生产实际，令人耳目一新，体现了数学与生活的密切关联；命题通过具有浓厚时代气息的现实问题，加大对数学阅读与理解能力、信息提取与整合能力、语言表达与运用能力的考查力度，全面检测学生的概率、统计与计数原理的必备知识、关键能力和学科素养.
1.注重基础考查，突出主干内容
2020年的13份高考数学试卷中都有关于概率、统计与计数原理的基本内容的考查，主要涉及建立模
卷型
全国新高考Ⅱ卷
天津卷
浙江卷
江苏卷科别
——
——
——
——
题型
选择题
选择题
选择题
解答题
选择题
填空题
填空题
填空题
填空题
填空题
解答题
题号
3
5
12
19
4
11
13
16
3
青岛英语家教
4
25
内容
分步乘法计数原理
事件的关系及概率计算
新定义题
古典概型、列联表
频率分布直方图
二项式定理
事件的相互独立性
古典概型、互斥事件概率、数学期望
平均数
古典概型
概率递推、通项公式、数学期望
分值
27
15
6
赵欣丝绸舞台事故20
续表五点法
型、样本数据的计算、数据分析、古典概型、计数原理等，都以容易题和中档题出现.这种做法既体现了高考聚焦数学概念、强调基础性的命题指导思想，又有利于学生形成用数学的方式思考问题的习惯.
例1（全国Ⅰ卷·理/文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()x i ，y i ()i =1，2，…，20得到如下散点图.
100%80%60%40%20%
发芽率
温度/℃
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（
）.
（A ）y =a +bx （B ）y =a +bx 2（C ）y =a +b e x
（D ）y =a +b ln x
【评析】此题主要考查利用散点图选择回归方程模型的问题，是统计的主干知识.学生需要分析散点图后结合函数图象的知识选择合适的回归模型.该题围绕主干内容，文、理同题共用，考查基本的数学概念、思想和方法，既考查了学生对基础知识的掌握情况，又体现了高考试题文、理趋同的变化.
例2（全国Ⅲ卷·文3）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（
）.（A ）0.01
（B ）0.1
（C ）1
（D ）10
【评析】此题考查了样本方差的基本性质，要求学生根据新数据和原数据确定方差的关系，并能利用方差的计算方法进行线性运算，考查学生基本的运算求解能力.此题着眼于样本数据的分析计算，既体现了基础性，又考查了处理数据的基本方法，体现了对概率与统计的主干知识的有效考查.
例3（上海卷·6）已知a ，b ，1，2的中位数为3，平均数为4，则ab 的值为
讲道集
.
【评析】此题主要考查平均数和中位数的概念与计
算，要求学生根据已知条件，列出关于a ，b 的方程，从而求解.此题在考查学生基础知识的掌握情况的同时，又需要学生具备基本的数据分析和数学运算素养，充分体现了《标准》对通性、通法的考查要求.
例4（全国Ⅲ卷·理3）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑i =1
4p i =
1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组
是（）.
（A ）p 1=p 4=0.1，p 2=p 3=0.4（B ）p 1=p 4=0.4，p 2=p 3=0.1（C ）p 1=p 4=0.2，p 2=p 3=0.3（D ）p 1=p 4=0.3，p 2=p 3=0.2
【评析】此题主要考查标准差的大小比较，考查方
差公式的应用，考查学生的运算求解能力，能让大多数学生得分，属于基础题.解决此题既可以利用标准差的计算方法直接计算比较大小，又可以通过分析数据的离散程度判断标准差最大的一组.通过基础知识考查了不同学生处理数据水平的差异，较好地发挥了高考的区分功能.
2.注重贴近教材，引导教学回归
教材是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要学习资源.高考试题千变万化，对教材习题的改编却始终是高考试题的重要组成部分.在立足于《标准》的基础上，对教材题型的改编体现了新高考命题回归教材、贴近教学改革的命题思路，从而
使高考命题有了良好的教学导向，也可以较好地达到
考查学生对学习目标的掌握情况的目的.例5（全国Ⅰ卷·理8）æ
è
çöø÷x +y 2x ()x +y 5的展开式
中x 3y 3的系数为（
）.
（A ）5
（B ）10
（C ）15
（D ）20
【评析】此题由人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—3）》第一章复习参考题A 组第8题第（4）小题改编而成，主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式.学生只需对通项中的指数赋值就能作答，考查学生运用转化与化归思想分析和解决问题的能力.这种设计源于教材、素材取自于
教材的试题还有很多，这些试题充分诠释了教材的重要性，重在引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教
材，避免超纲学、超量学，引导学生回归数学学习的本真.
3.注重统计思维，考查关键能力
统计思维是基于问题、收集数据、分析数据、解读数据的过程，是在获取数据、从数据中提取信息、论证结论可靠性等过程中表现出来的一种思维模式.只有具备统计思维才能掌握数据分析的关键，才能养成阅读、理解、辩证思考统计信息及做出决策的统计素养.在概率、统计与计数原理内容的考查中，注重以现实问题为背景、以统计数据为载体，将关键能力与统计思维有机结合，突出统计推断、数学建模和数学化等思想方法，考查学生对概率与统计思想方法的理解、掌握和运用程度.
例6（全国Ⅱ卷·文/理18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()
x i ，y i ()i =1，2，…，20，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区
的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑i =1
20
x i =60，∑i =1
20
y i =1200，∑i =1
20
()x i -x
ˉ2
=80，∑i =1
20
()y i
-y
ˉ2
=9000，∑i =1
20()x i -x ˉ()y i -y
ˉ=800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种
野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本()x i ，y i ()i =1，2，…，20的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，试给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r =
∑i =1n
()x i
-x
ˉ()y i
-y ˉ∑i =1
n
()x i
-x
ˉ2∑i =1
n
()y i
-y ˉ2
，2≈1.414.
【评析】此题以沙漠治理为背景设计，选取生态问题切入，提取并分析数据，利用样本估计总体，计算野生动物数量的估计值，然后根据数据选择合适的抽
样方法，主要考查学生的数据处理能力和创新应用能力，以及分析问题和解决问题的能力.沙漠治理问题是一项长期而艰巨的任务，治理效果可以通过植被状况和生物多样性来反映，这种真实的问题情境既具有现实意义，又是学生运用所学知识能够解决的问题，试题研究结论既反映了我国在环境治理方面的成就，又体现了立德树人的教育宗旨.
例7（全国Ⅲ卷·理/文18）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到表2（单位：天）.
表2空气质量等级
1（优）2（良）
3（轻度污染）4（中度污染）
锻炼人次
[]
0，2002567
(]
壬辰变法200，400161072
(]
400，600251280
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成如表3所示的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
空气质量好空气质量不好
人次≤400
人次>400
表3
附：K 2
=n ()
ad -bc 2
()a +b ()c +d ()a +c ()
b +d .
P ()K 2≥k k
0.0503.841
0.0106.635
0.001
10.828
表4
【评析】此题以判断到公园进行体育锻炼的人次与当天的空气质量状况是否有关为背景，给出某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次的
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议