烟台大学学报(自然科学与工程版)
Journal of Yantai University ( Natural Science and Engineering Edition)
第34卷第2期
2021年4月
Vol. 34 No. 2Apn 2221
文章编号：1024-8820 (2221 )22-2139-26
doi ：12.33451/j. 3)0 37T213/n. 202221
任丽，吕文
（烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台224025）
摘要：考虑一类由时变的L6vy 噪声驱动的平均场倒向随机微分方程，在系数满足Lins- chitz 条件的假设下，给出了方程解的存在唯一性定理，最后给出了方程解的一个比较定 理。
关键词:Itu 公式；布朗运动；符号测度；存在唯一性；比较定理中图分类号：021/61 文献标志码：A
自PARD0UX 和PENG [2]首次引入非线性倒向
随机微分方程（简称BSDE ）后,BSDE 理论方面得到 迅猛发展受LASRY 和LIONS ⑷的启发， BUCKDAHN 等[5]引入了平均场BSDE 理论并成功
应用于金融经济、随机博弈以及控制等各个领域,
参见文献[6 -8]。
229年，PENG 和YANG ⑼引入一种超前BS DE , 其中将混合测度与BSDE 结合，建立了 BSDEs
与超前BSDE-之间的对偶关系，为以后研究随机微 分方程最优控制的最大值原理提供了基础。在此基
础上，LIO 和REN [1/]研究了具有以下形式的由时 间变化的LVvy 噪声驱动的BSDE ：
dy , =-/（，工，乙，7，乙+”少 +
Z,（（）“（dt,dx ） ,t e [0,T] ,
（1）
其中：是由在[O , T ] x {2上的条件布朗测度B 和在[2,T ] x 瓗°上的中心双随机泊松测度珟混合
测度，系数/不仅包含解的当前值，而且包含解的
未来值。
此外，LU 和REN [11]研究了如下形式的马尔科
夫链驱动的平均场BSDE，证明了在Lipschitz 条件 下平均场BSDE 解的存在唯一性。
+ j t E'[F （S,y s _',Z s _',y s _,Z s _）]d S -
[2翻, ⑵
其中：（y ‘，zj 是（y,z ）的复制。
受以上工作启发，本文研究具有以下形式的时
变的LVvy 噪声驱动的BSDE ：
y = g +『
£'[/（, y ‘，zj y , z 」d s -
T
M z （（）“（d s ，d ））,
⑶
本文讨论方程（3）解的存在唯一性定理和比较定
理。
首先，给出本文中用到的符号和基本假设。第
2小节将给出时变的LVvy 噪声驱动的平均场BSDE
方程解的存在唯一性定理，最后给出方程解的一个
比较定理。
1预备知识和基本假设
设（0，艺P ）是一个完备概率空间，对给定的
T 〉。，记 X =（O T ] 乂⑼）*]。，T ] x 瓗 °），其 中瓗。=瓗XiKo 设入=（屮，屮）是一个二维随机
过程，分量人‘，i=B , H 满足：
收稿日期：2022-92-24
基金项目：山东省自然科学基金资助项目（ZR2217MA215）；国家自然科学基金资助项目（11871276,71672166）。 通信作者：吕文（************），副教授，博士，主要研究方向为倒向随机微分方程、随机分析及其应用。
140烟台大学学报(自然科学与工程版)第34卷
(al)对任意的隹[0,T]，入；耳0, a.s.;
(2)对任意的心0，飞[0，门，
li m P(\X l t+h-入；I耳w)=0;
h^0
T
(a2)町入；曲<+。
在X上定义随机测度人：
研讨学习环境人(人)：二[/(,0)"()入：曲+
T
10[厶(\x)q(d x)入仙：二
J0
a b(4n[o，门x{0})+
〃(人n[0，门x伉)，(4)其中q是确定的瓗0上Bowl集的a-有限测度，满足[%2q(ck)<+^0
定义1P是在]0,T]X{0}Borel集上的符号测度，满足
(bl)P(P(A)W)歹)=p((zi)w)
A s(4))"(),)e瓗，A U[0,T]X
\/A B(A)p
{0}，其中④(•)是标准正态随机变量的概率分布函数。
(b2)B(4i)和B(A)关于戶条件独立，其中A和A是互斥集合，H是[0,T]X{瓗。丨中Borel集上的符号随机测度。
(b4)P(H(A)=k I歹')=P(H(A)=k A\A))=A I)k l A H(,k eN,A U[0,T]x瓗00 (b4)H(A)和H(42)关于歹条件独立，其中A和玉是互斥集合。我们假设：
(b5)B和H关于戶条件独立。
记珟：=H_A H是下列给出的符号随机测度：珟(4)=H(4)-A H(4),A U[0,T]x瓗°。
定义2对X的Borel集4，定义符号随机测度“为
“(4)：=B(4n[0,T]x{0})+
珟(4n[0,T]x瓗0),4U X o
显然地，条件(b1)—(b5)和定义2意味着“是条件布朗测度B在[0,T]x{0]和中心双随机泊松测度珟在[0,T]x瓗。上的混合。由(bl)—(b2)，我们有
E[“(4)I歹]=0,
E[B(4)2I歹]=A b(4),
E[珟(4)2I歹']=A h(4),
E[“(4)2I歹]=A(4)
以及
E[“(4i)“(42)1歹=
E[“(4i)I夕^£[(42)I歹]=0,
其中41和4?是互斥的，因此,,(41)和(A?)是条件正交，这里的随机测度B,H和布朗运动以及纯Levy过程的一种特定形式时间变化是有关系的。具体地说，定义B)=B([0,)x{0}),A)：= [；ds o n：=f%z珟(ds,dz)和；)ds，对任意的J0J0J R q
:e[0,T]，集合歹={阳表示由X=X：自然生成的信息流
冕=a{X：0W t W T}V N”，
其中N是所有的P-Null子集的集合。
记
•z P S，乡；P)：={g：实值坊可测随机变量
<+8,pM1];
•Z0(2坯P；瓗")：={g：瓗"值夕可测随机变量};
•s2(瓗)={y：/2x[o,T]}—瓗并且更-适应,E[[sup r]1^12]<+8;
•厶2(瓗)={Z：/2x[0,T]}—瓗并且冕-适应,
(E[f I Z,(0)I；d s+
%%I Zs(()Iq(d))；ds])<8o 设(珚，J珔P)=SxQ乡®艺P g P)o歹=
o wtw t}表示这个空间产生的流。一个随机变量g e Z°(Q J P；瓗")由原来的定义在。上扩展至U/珚：'(®',®)=g(®'),(®',3)e Q=Q xx2o对任意的O e Z1(珚珔)，变量0(•,®)4 T瓗"属于Z(2J P)，它的期望我们表示为
E')0(・，®)]=|(®',®)P(d®')°
注意
£)0]=£)0(•,«)]e P),
并且
£[0](=fd P=f£')0(•,«)]P(d«))=
J{2J{2
£[£)[0]]0
本文考虑如下形式的时变的Levy噪声驱动的平均场BSDE：
『：='+『£'[/(]，盯，z],y.z」d]-
其中系数/：O x[0,T]x S2(S,T；瓗)x Z2(S,T；
第2期任丽，等：时变的Levy噪声驱动的平均场BSDE141
瓗））t瓗，满足以下条件：
（H1）存在一个常数C耳0，使得对任意的5e ［0，T,1,2,1',2隹耸（，八瓗）
4（S,T；瓗），有
I/O'，加，I,21',，21,21）-
/
O','，t,2，2，2,2）1W
C(l21'-2‘I+12i1(0)-2(0)丨槡严+
2(()/g(d%)槡^+
I21-2丨+/1(°)-1(°)丨槡^+
1())一1(()I2g(d x)槡t)；
T
(H2)珔珔I/(t,0,0,0,0)丨2d t<+8
注对方程中的符号做出解释，方程（5）的驱动系数按如下方式运算：
£'［/（,E',z：,y s,z,）］（®）=
E',z,',y,3）,z,3））］=
I：E'3'),Z''(®'),E3),z,3))P(d")
定义3方程(5)在:,,T](T<8)上的解(E, z)eS畝瓗)x Z2X瓗)应满足：
4对任意的te[,T],(E,z)是连续的；
2)(E,z)是男-适应的；
3)对任意t t W T，有
E=g+|'(/(,E',z)E,zj d-
2解的存在唯一性
本节将讨论时变的LVvy噪声驱动的平均场BSDE解的存在唯一性，首先给出平均场BSDE（5）解的唯一性定理。
引理1［10］考虑如下形式的由时变LVvy过程驱动的BSDE，
T
s，E，z）ds-|z“（ds,d））,（7）设g e厂（⑵更P）且系数满足假设（H1）和（H2）的简化形式，则方程（7）存在唯一解（E,z）e s；瓗）x z2X瓗）。
引理2设g e门⑵更卩）且系数满足假设（H1）和（H2），则平均场BSDE（5）的解是唯一的。
证明设（2,z）e S負瓗）x Z負瓗）（=1, 2）是平均场BSDE（5）的两个解，定义E=E-E,z=z1-z2，贝g
E=I!ds-|1(()“(ds，d),⑻其中：
(==^(，,E,,z1^,e1,z1)_-(s,E)z S)2,z2)。
由It6公式，得
di Ei2=21Ei dE+(dE)2= 2I E1(-'[())dt+j K Z(5)“(d t，d)))+
[z(O)d P t+I z()珟(d t dx)]=
JR q
-2I E I')/(«)]dt+
上式两边积分得
I EI2=-2|I EI'：/（：］d s+
E I z(()M(d:d)+
z^(()I2y l(ds,d)),(9)对式(9)两端在t=T处计算得
I E t I2=-2]0I E I'[/()]d s+
I z^(()M(d：d)+
z$(()Il(d s,d))
I EI-2『i EI''()]d s+
E s I z(()M(d：d))+
z^O丨2l(d：d),
取期望，化简得
'I E I2=2『E[丨E I'(((SHds-
T I
)
I z$(()Ii(d：d))o(10)对任意的p>0，由(H1)和Young不等式得
I E I'[/(：]ds W
山西大同大学学报2C『'[丨E I E'I Y/I+I z(0)I TP+
|I z^d)I2g(d)槡^+
I EI+i z(0)I槡严+
z()丨2g(d)槡f)]ds
W
142
烟台大学学报（自然科学与工程版）
第34卷
4c
| I y I d s + 4c |e i y I d s +
tt
| I Z s ( () I 2A ( d,, d)),
令P=4C ，则
2 I - y 2d , + 2pcfE I y - y
-
2d s +
T pc
f
t
I Z ；+1 -Z ： l A(ds , d ),
从而
e I - y 12 w
-C z-T
—I e i - y 12d, +P t
T
2pc |
e i y - y - 12d , +
T pC] E
| I Z
；
+1
- Z ： I 2A(d s , d )-
T
E
| | I Z
,+
- Z , I A(d ,d ),
丄有
2C ，有
E I y +1 - y I 2 + *E 『
Z I Z
,
+1
- Z , I A(ds,d) W
TT
8C 2f e I y +1 - y 12d , + f e I y - y - 1 12d ,,
tt
记 C = max j 8 C 2 , 1 }，贝Q
e I y +1 - y 12 w
T
C ： f e I y + - y 12d , +
E I 2 I 2 +
e
| I Z,()丨 2
A(ds,d ) W
T
(1 6C 2 +4C )Z
E I y I d s ,
由Grouwall 不等式得
E I y t 12 = 2, E I Z t 12 =。，
即，对任意的；y = y , z ； =z 2, a.-.证毕。
接下来，考虑平均场BSDE (5)的一个简化形
式
y = g +『E,/（, y, y , Z,）]d s -
T
I [Z,（（）“（ds,d ）） o
引理3 设g e 厂（0，坯，P ），且（H1 ）和 （H2）成立，则平均场BSDE （1 1 ）存在唯一解（y,Z ）
e S2X 瓗）xZ 次瓗）。
证明场 BSDE
y + 1 ：（⑴
设y°=2, teO T ]，考虑下面的平均
g +『
£'[/(, y ，, y , z ,1 )]d ,-
Z ]z ：* 1 (()“(ds,d)) o
由引理2，我们可以递归地定义(y “, Z ；+1)
是 BSDE ( 2)的解，从而
y + - y = |e ,/(, y, y , z ：+ )-
/(, y- 1 , y - , z ：)]d ,- Z _Z (z r 1 - z )/^( d ，d
)=青藏线的风
y + - y -Z e '[/(，y ，y ，z ：+)-
/(, y- 1 , y - , z ,)d , +
(Z z ：+ -Z,)“(d,,d))。
由ou 公式得
d I y +1 - y 12 = 2 I y +1 - y i d I y +1 -
y i + (d i y +1 - y 122 =
-2i y 1 -y i (E,/(, y, y , z ：+ )-
/
(； y- 1 , y 1 , Z ；)]d ； +
i
y + -yi
I z ：+
1
-z ：)“(d,d) +
JR
(12)
2 I Z f +
1
- Z ； 12A(dt,d )),
等式两边积分得
i y +1 - y 12 =i y +1 - y i 2 -
2( | y
+
-y |(E,/(, y, y , z ,1 )-
/(,, y- 1 , y - , z ,)])d , +
2( I y
1
- y i
|z
：+
-
z ：)“(d,d) +
I I Z
,+
- Z , 2A(ds,d ) o
对等式的两边取期望并且在t = T 处计算得
e I y +1 - y 12 =
T
2] e I y
+1
- y I (e ,/(s , y, y , z ：+ )-
f((, y -', y - ,z ：)])d , -
e
] I Z
：+
- Z ： I 2A(ds,d ),
对任意的P ＞。，由(H2)和Young 不等式得
T
]
E| y +1 - y | (E,/(s, y, y , Z ,+1 )-
y -', y - , z ：)])d , w
T
2c
[ e i y
+1
- y 丨 e ,i y ，- y - , +i y - y 1 i +
Z ：+() - Z ：()丨 2g(d )槡^ ]d , W
T
-C
r P
令P
第2期任 丽，等：时变的LVvy 噪声驱动的平均场BSDE
144
% £ I y - y - 12
d ,,
设 u ”(t ： = %£丨 y - y -
I d ,，贝g
1 " + 1
-芈一(：-Cu-+1(i ) W Cu(t) , ""+(T ) = 0,
d ：
两边积分，得
弘"+ (： W C% l (]：""(s)d ],
迭代上面的不等式，得
/介夕、"CT
"”+1 (0) W
(ye
“1(0),I z "+1(o ) - z "(o )I /； +
"!
从而y 是在SJ 瓗)中的一个Caachy 序列，继而
Z "也是一个(瓗)中的一个Caachy 序列。对式
(12)的两端取极限，由假设(H2)和控制收敛定理
得
y : = limy , Z : = limZ "
"f 8
"f 8
是BSDE (11)的解。唯一性是引理2的直接结果，
证毕。
下面给出平均场BSDE (5)解的存在唯一性定 理0
定理1设'e Z (, J , P )且假设(H1)和 (H2)成立，则平均场BSDE ⑸存在唯一解(y,Z ) e
S J (瓗)x Z j (瓗)。
证明 设Z°=0,t e [0,T ]，由引理3，对心 1，可以定义一对过程(y +, z +)是下述平均场
BSDE 的唯一解：
y + =
' +『
£'[/(), y +', z ], y +1 , z )+)]d )-
% %Z
"+1
())(ds,d ))。 (1 3)
由ItG 公式并且在等式左右两边取期望得
£Iy ：+ -y ：I 2
，"+1% ,
I z ,(0) -z ；- 1 ,0) I /； +
I z "+1 () -z ；() ) !q(d ) ) /T +/R o
T
4cf £ I y +1 - y I d , +z "'(() - z ,- 1 '()丨 2q(d )) //； ] d , W
4C T "+ " 2
— I £ I y +1 - y 12d s +
：
T
Cp £
% I z
"+
-
z " I 2A (ds,d )) +
T
C c P £% I z , - z ,-丨 2A(ds,d )) W
4C T "+ " 2
(4C + 竺)I
£ I y +1 - y 12d s +
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器官移植论文
T C _[ £
% I z
,+
- z , I 2A(d s,d )) +
T
C % £
% I z
,
- z ,-丨 2A(ds,d)) o
从而
£Iy ：+ -y ：I 2 W
(4c +
竺)%T
£ i y +1
- y 12d s +
p Ji
T
(Cp - 1) J £
% z
耿福明
"1
- z " I 2A(d s,d )) +
T Cp £
% I z
"
-z "- I A(ds,d)),
定义K=(4C+4C )，由Grouwall 不等式得
P
£Iy ："+ -y ："I 2 W T
(Cp - 1)% £% I z "+1 - z " IA(ds,d)) +
T Cp £
%
R
z " - z ；_ 1 I 2A(ds,d )) +
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k [(C C - 1 )% £% I z
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z , I 2A(ds,d ))
+
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% I z
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- z "- 1 I 2A (d,dx) ]d o
令p ==C 得
y I (/[/(s , y + ', z ,, y +1 , z ,+1 )-/(, y ‘，z "-, y , z o D d s -
£Iy ："+ -y "：I 2+
%% I z
；+1
-
z "I 2A (d ,,d))+
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由(H 1 )和Young 不等式得
T
2 £ I y +1 - y I (£'[o(), y +1 ‘，z ", y +
y ‘，z "-, y , z o D d s w
T
2C% £ i y +1 - y i £,i y +1 ' - y, +i y +1 - y i +
K e
k f
[e -
%% I z
"+1
- z "I 2A(dz n ,d)) ]d , W
；{『£% z
"+
-z , l 2A(d5,d x ) +
z ""- 1 I 2A(dzn,d)) ]d ,}0
迭代上面的不等式意味着z "是在S J 上的一个 Caachy 序列，分别用y 和Z 表示它们的极限，由
(H2)和控制收敛定理，对任意的te [0, T],
得
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