甜素纯
王永茂;常竞文
【摘 要】研究次分数布朗运动环境下带有违约风险的交换期权定价.采用建立在公司价值基础上的违约风险模型,两种标的资产及公司价值的变化过程均由次分数布朗运动刻画,利用二重Mellin变换法得到交换期权定价公式的闭式解.根据理论模型进行数值模拟,研究结果为:交换期权价格与次分数布朗运动的Hurst指数H呈反比;H＞1/2时,次分数Black-Scholes模型下交换期权价格低于标准B-S模型下的价格,原因是次分数布朗运动存在“长记忆性”;期限越长,风险越大,期权价格越高;公司资产价值越大,期权价格越高,直至某一价值之后趋于平缓;随着公司破产成本率的增加,风险增大,资产价值会有一定幅度的降低. 【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(054)006
甲基橙
【总页数】9页(P9-16,51)
【关键词】次分数布朗运动;违约风险;交换期权;Hurst指数;二重Mellin变换
滨州医学院图书馆
【作 者】王永茂;常竞文
【作者单位】燕山大学理学院,河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院,河北秦皇岛 066004
【正文语种】中 文
【中图分类】O211.6;F830.9
交换期权是一种期权持有人在到期日有权但不必须以一种资产交换另一种资产的合约.1978年Margrabe[1]首先给出了交换期权的闭式解，之后众多学者在此基础上修正交换期权定价模型，研究许多在各种限制条件下的交换期权定价模型.
大量实证研究表明，股票市场价格呈现出一种“尖峰厚尾”的分布，并且股价波动在不同时间存在着长相关、自相似等特征，几何布朗运动不能很好地刻画标的股票的这些特性，因此有学者对几何布朗运动进行改进，研究标的资产服从分数布朗运动下期权的定价公式，孙琳[2]利用偏微分方程方法获得了分数布朗运动环境下的期权定价公式.次分数布朗运动是分数布朗运动的进一步改进，Tudor[3]发现次分数布朗运动的退化速度快于分数布朗运动，它能更好地刻画标的资产的长记忆性.Wang等[4]证明了次分数布朗运动环境下的Girsa
nov定理并得到了次分数Ito公式，肖炜麟等[5]研究获得了次分数布朗运动环境下带交易费用的欧式期权定价公式，并实证分析了定价结果的有效性.郭精军等[6]得到次分数Vasicek随机利率模型下期权价格的闭式解.
Mellin变换是以幂函数为核的积分变换.近年来，有学者利用Mellin变换法对不同类型期权进行定价，Yoon等[7]利用二重Mellin变换得到带有违约风险的欧式期权定价公式，程凤林等[8]运用Mellin变换推出带有交易成本的欧式期权定价公式.
违约风险是指交易对手未能履行契约中的义务而造成经济损失的风险.违约风险模型大致分为两类，一类是违约强度模型，另一类是公司价值模型.刘艳萍等[9]利用无套利对冲原理和公司价值模型得到了具有信用风险的期权定价公式，苏小囡等[10]在违约强度模型下研究了交换期权定价问题，得到了交换期权的闭式解.Ayache等[11]利用数值解方法研究了带有信用风险的可转换债券的定价问题，Wang等[12]利用鞅测度方法获得了既存在违约风险又存在跳跃风险的幂交换期权定价公式的解析解.文中采用公司价值违约风险模型，假设交换期权的两种标的资产与公司资产价值均服从次分数布朗运动，建立资产价格的市场模型，利用二重Mellin变换法获得带有违约风险的资产交换期权的定价公式，并讨论模型参数与期权价格的关系，期望获得更贴近市场的定价结果.
1 预备知识
1.1 次分数布朗运动
次分数布朗运动{ξH(t),t∈R}是Hurst参数为H(H∈(0,1))的连续高斯过程，E[ξH(t)]=0，其协方差为
次分数布朗运动满足如下性质：
( i )自相似.当a>0时，有
( ii )长相依.当H>1/2时，ξH(t)有长期依赖性，即若令
r(n)=cov(ξH(1),ξH(n+1)-ξH(n)),
则
(iii)对任意t≥0和H∈(0,1)，有
(iv)当H≠1/2时，次分数布朗运动既不是马尔科夫过程，也不是半鞅；
(v)二阶矩增量的非平稳性:二阶矩增量(假设t>s)为
设{X(t)}是由给出的次分数Ito过程，g(t,X(t))是[0,∞)×R上二次连续可微函数，则{Y(t)=g(t,X(t))}仍为次分数Ito过程，且
1.2 二重Mellin变换
定义1 对于可积函数f(x,y),x,y∈R+，定义Mellin变换M(f(x,y),z1,z2),z1,z2∈C为：
若收敛，则二重Mellin逆变换为：
引理1(二重Mellin变换的卷积公式) 假定二重Mellin变换存在，则对于可积函数f(x,y)和g(x,y),(x,y)∈R+×R+，f和g的卷积公式为：
引理2[8] 对于复数α和β满足R(α)≥0，令
和平县教育局则
2 资产价格模型及交换期权定价
2.1 带有违约风险的资产价格模型
借助B-S模型的基本假设，提出如下假设：
1)完全市场，无套利机会，无风险利率为常数，无红利支付；
2)资产完全可分，不存在税收和交易费用；
3)交换期权的两种标的资产在测度P下遵循几何次分数布朗运动:
根据次分数Girsanov定理[5]可知，存在与测度P等价的鞅测度Q及次分数布朗运动(记为使得(1)式为
其中，μ1,μ2为资产收益率；r为无风险常数利率；σ1,σ2为资产波动率且为非负常数；表示相关系数为ρ12(ρ12∈[-1,1])的次分数布朗运动，即
文中研究的信用风险模型是基于公司价值基础上的违约模型，假定资产价值V(t)在测度Q下遵循次分数布朗运动：
采油指数(3)
其中，σ3为资产价值V(t)的波动率，次分数布朗运动与之间的相关系数为与之间的相关系数为ρ23.
设含违约风险的交换期权到期承诺支付为XT=(S1(T)-S2(T))+，公司破产或违约时到期支付为第三方环境检测机构管理
XT=((1-α)V(T)/D)(S1(T)-S2(T))+,
其中，常数D为到期时公司的负债；α为破产成本的比率.这里选择D*作为临界值，当V(T)<D*时，期权发行者违约并支付违约值，此时的回报或者收益为
2.2 交换期权价格所满足的偏微分方程
引理3 在次分数布朗环境下含违约风险的交换期权Xt=X(S1(t),S2(t),V(t),t),t∈[0,T],满足的偏微分方程为
证明 利用期权价格、标的资产、公司价值三者之间的相关性和对冲原理构造投资组合
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