中科院研究生院2012～2013第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第六章 高斯过程（维纳过程） 习题
1、 设有随机过程Y ，∞<<−=t X t t 0,1)(2X 是正态随机变量，期望为0，方差为。 2X σ（1） 过程Y 是否正态过程？是否平稳过程？均需说明理由； )(t （2） 过程，在均方可积意义下是否存在？存在的话，试求其相关函数。 0,)()(0>=
∫t ds s Y t Z t
2、 设是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B 10)],1/([)1()(<≤−−=t t t B t t ξ，的常数，试求随机过程0,0),12>≥−a t at η()(=−e B e t at )(t ξ和)(t η的均值函数和相关函数，并说明)(t ξ和)(t η是否是正态过程。
3、 设是标准的布朗运动，试求与的相关系数，其中：
。
}0,)({≥t t B 1≤≤t )(t B ∫1
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0)(du u B 04、 已知是初值为0的标准布朗运动，
求在0),(>t t B 0)1(=B 时的条件概率分布密度函数。
)10()(<<t t B 5、 已知是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B b t B a t +=)()(ξ，b at B t +=)()(η，
其中常数a ，t 。试分析此两随机过程的前二阶矩是否相同？此两过程是否同分布？说明理由。
0>b ,0>0≥6、 设{为零初值的标准布朗运动，试求：moto q11
}0),(≥t t B （1） 在的条件下，的条件概率密度函数，其中t ；
01)(x t B =)(2t B 12t >（2） 布朗运动的对称性，即证明：当 t 时，有
0,00>>t 2/1})()({})()({00000000==≤+==>+x t B x t t B P x t B x t t B P ；
（3） 令：
T })(,0:inf{a t B t t a =>=a ，T 表示布朗运动首次到达a 的时刻，当时，试求T 的分布函数。
a 0>a 7、 设是初值为零的标准布朗运动，令：
0,)(≥t t B 10,)1()()(≤≤−=t tB t B t X
称{}10),(≤≤t t X 为布朗桥过程。
lonely boy
（1） 试问布朗桥过程是否为正态过程，为什么？
（2） 试求布朗桥过程的均值函数和相关函数；
马鬃蛇
（3） 试求布朗桥过程的一维分布密度函数。
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