(1)设是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为,且是一个周期为的函数,即,求方差函数。 解:由定义,有:
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(2)试证明:如果是一独立增量过程,且,那么它必是一个马尔可夫过程。 证明:我们要证明:
,有
法制时空
形式上我们有:
因此,我们只要能证明在条件下,与相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知,当时,增量与相互独立,由于在条件和下,即有与相互独立。由此可知,在条件下,与相互独立,结果成立。
(3)设随机过程为零初值〔〕的、有平稳增量和独立增量的过程,且对每个,,问过程是否为正态过程,为什么? 解:任取,那么有:
由平稳增量和独立增量性,可知并且独立
因此是联合正态分布的,由
可知是正态过程。
(4)设为为零初值的标准布朗运动过程,问次过程的均方导数过程是否存在?并说明理由。
解:标准布朗运动的相关函数为:
如果标准布朗运动是均方可微的,那么存在,但是:
故不存在,因此标准布朗运动不是均方可微的。
(5)设,是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数,并问在均方意义下,是否存在,为什么?
解:泊松过程的转移率矩阵为:
其相关函数为:,由于在,连续,故均方积分存在。
(6)在一计算系统中,每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关,以0表示误差状态,1表示无误差状态,设状态的一步转移矩阵为:
试说明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布〔平稳分布〕。
解:由遍历性定理可知此链是遍历的,极限分布为尼龙56。
(7)设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下:
全球十大恶人〔a〕写出切普曼-柯尔莫哥洛夫方程〔C-K方程〕;
〔b〕求步转移概率矩阵;
〔c〕试问此马氏链是平稳序列吗? 为什么?
解:〔a〕略
〔b〕
〔c〕此链不具遍历性
(8)设,其中为强度为的Poission过程,随机变量与此Poission过程独立,且有如下分布:
孕妇餐厅问:随机过程是否为平稳过程?请说明理由。
由于:
故是平稳过程。
(9)设,其中中学物理教学参考与独立,都服从
〔a〕此过程是否是正态过程?说明理由。
〔b〕求此过程的相关函数,并说明过程是否平稳。