一、 Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：
1. 风险资产（ Black-Scholes 期权定价模型中为股票） ，当前时刻市场价格 为 S。S 遵循几何布朗运动，即 dS dt dz。 S
其中， dz 为均值为零，方差为 dt 的无穷小的随机变化值（ dz dt ，称为 标准布朗运动， 代表从标准正态分布（即均值为 0、标准差为 1 的正态分布） 中取的一个随机值）， 为股票价格在单位时间内的期望收益率， 则是股票价 格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。 和 都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来 源于两个方面： 一是单位时间内已知的一个收益率变化 ，被称为漂移项， 可以 被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即 dz ，可以看作随机波动使得
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股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外 部因素。
3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分 的。
5.在期权有效期内， 无风险利率 r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进 行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
、 Black-Scholes 期权定价模型
一) B-S期权定价公式
在上述假设条件的基础上，
Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的 Black-Schole 微分方程：
其中 f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程， Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看 涨期权的定价公式： c SN(d注射方式执行死刑1电磁学的应用) Xe r (T t) N(d2fiypaper)
ln(S/X) (r 2 /2)(T t) d1
其中，Tt
d ln(S/X) (r 2 /2)(T t) d T t
d2 d1 T t
Tt
c 为无收益资产欧式看涨期权价格； N( x)为标准正态分布变量的累计概率 分布函数(即这个变量小于 x 的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 N( x) 1 N(x) 。
(二) Black-Scholes 期权定价公式的理解男人体照片
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1. SN(d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头； Ke r(T t)N(d2) 可看作 K 份现金或无价值看涨期权的多头。可以证明， f / S N ( d1 ) 。为构造一份欧式看涨期权，需持有 N(d1) 份证券 多头，以及卖空数量为 K e rT N(d2) 的现金。
Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美(无税、无交易成 本、资产无限可分、允许卖空) 、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动
2. 风险中性定价原理
风险中性定价原理： 我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无 关的。 C（S, t） 与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率 μ无关。 这说明欧式 Call 的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式 Call 定价时，可假设 投资者是风险中性的 （对所承担的风险不要 求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率） 。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 假设一种不支付红利股票目前的市价为 10 元，我们知道在 3 个月后，该股 票价格要么是 11 元，要么是 9 元。现在我们要出一份 3个月期协议价格为 10.5 元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于 3个月后股票的市价。若 3 个月 后该股票价格等于 11 元，则该期权价值为 0.5 元；若 3个月后该股票价格等于 9 元，则该期权价值为 0 。
为了出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的 标的股票多头组
成的组合。若 3个月后该股票价格等于 11 元时，该组合价值等 于（11 －0.5 ）元；若 3个月后该股票价格等于 9元时，该组合价值等于 9 元。 为了使该组合价值处于无风险状态， 我们应选择适当的 值，使 3 个月后该组合 的价值不变，这意味着： 11 － 0.5=9 ，我们解得： =0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和 0.25 股标的股票。 无论 3 个月后股票价格等于 11元还是9元，该组合价值都将等于 2.25 元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风 险年利率等于 10%，则该组合的现值应为： 2.25e 0.1 0.25 2.19元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25 单位股票多头，而目前股票市 场为 10 元，因此：
10 0.25 f 2.19
f 0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为 0.31 元，否则就会存在无风险套利机会。
三、 Black-Scholes 期权定价公式的计算
Black-Scholes 期权定价公式的计算：一个例子
为了使读者进一步理解 Black-Scholes 期权定价模型， 我们下面用一个简单 的例子，来说明这一模型的计算过程。
假设某种不支付红利股票的市价为 50 元，无风险利率为 12%，该股票的年 波动率为 10%，求该股票协议价格为 50 元、期限 1 年的欧式看涨期权和看跌期 权价格。
在本题中，可以将相关参数表达如下： S＝ 50，X＝50，r=0.12, σ =0.1,T=1, 算出 d1和 d2：
ln(50/ 50) (0.12 0.01/ 2) 1
d1 1.25
1 0.1 1 d2 d1 0.1 1 1.15
计算 N d1 和 N d2 ：
N d1 N 1.25 0.8944
N d2 N 1.15 0.8749
将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为：
c 50 0.8944 50 0.8749e 0.12 1 5.92美元
由 P C Ke-r(T-t) S Ke r(T t)N( d2) SN( d1) 可以算出欧式看跌期权价 格： p 50 1 0.8749 e 0.12 1 50 1 0.8944 0.27美元
四、影响欧式看涨期权价格的因素
从 B-S 公式我们可以简单得出以下的结论：
(1)当期股价 S 越高，期权价格越高；
(2)到期执行价格 K 越高，期权价格越低；
(3)距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高；
(4)股价波动率 σ越大，期权价格越高；
(5)无风险利率 r 越高，期权价格越高。
五、 Black-Scholes 期权定价公式的应用
Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权价格， 在其它一些方面 也有重要的应用。主要有以下三方面：
(一) 对公司负债及资本进行估值：
一家公司 A发行两种证券：普通股 100万股及 1 年后到期的总面值 8000万 元的零息债券。已知公司总市值为 1 亿元，问：公司股票及债券如何定价？
令 V 为当前 A公司资产市场价值， E 为 A公司资本市场价值， D为 A公司债 券市场价值。
V = E + D
考虑股东 1 年之后的收益：当 A 公司价值 VT大于债券面值时，收益为 VT -8000 ；当 A
公司价值小于债券面值时，收益为 0。股东相当于持有一个执行价 格为 8000 万元的欧式 Call , 标的资产为公司价值当前资本价值为：
rT
E VN(d1) Be rT N(d2)
给出其它具体数值，公司价值的波动率为 0.3, 无风险利率为 8%，根据 B-S 公司得到 E=2824万元，公司负债价值 D=V-E=7176万元。
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