一、历史
1、1827年，英国生物学家R．Brown通过花粉实验观察到花粉的不规则运动 2、1905年，Einstein通过物理规律对该现象作了数学描述
3、1918年，Wienner对其进行了精确的数学描述，BM的轨道性质，定义了测度与积分 4、K.Ito 定义了Ito积分
二、BM定义
微笑图书室1、直线上对称随机游走
——t时刻质点位置，
（1）
（2）
2、现在我们讨论当时，的极限分布情况：
设，此点很重要，
由中心极限定理：
则，
故
三、BM轨道性质
若，其中当时，称为标准布朗运动
1、现有此结论：
证明：设
则有
设则有
而，
则
故有
2、作，则有
当时，
上海劳动报
档案2013 则有
故
3、对，有
即
证明：设，则，且
则
故
四、Ito随机积分
1、 1951年, 伊藤最早建立了关于布朗运动的随机积分的微分法则(即变量替换公式), 简称为Ito公式. 1967年Kunita, Watanabe, 1970年Do leans-Dade, Meye r把Ito积分推广到半
鞅情形, 也相应地推广了Ito 公式. 可以说, Ito 公式是随机积分理论中的一个最重要的结果, 是随机分析的一个极其重要的工具.
对于Ito随机积分，我们先讨论如何定义？
首先了解Riemann-Stidtjes积分
对于积分，这里为单调不见有连续的，prk
为单值函数。再有一个布朗运动，的轨道性质我们知道是 （1）任一点没有有限导数；（2）任意两点之间不是有限变差。
对于，在（，F，P，）上，布朗运动BM有性质：① ；②，。
（2）：a、关于可测；b、 ；
c、。
再对于BM：，，，定义Ito积分为
例：
对于伊藤积分的性质，先从简单函数出发，示性函数的线性组合来推导：
对有；，这里，
偏振模散则 。
故有：
丽彩士ⅰ.
；
ⅱ. ,等距（同构），即
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