有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是
选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x)．设立体可在的x轴上的范围是区间[a铁水包，b]，任取一小区间(“微元”)[x，x＋Δx]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)ΔV与相应的圆柱体体积S(x)Δx，它们相差至多是ΔS·Δx＝[dS＋0(Δx)]Δx＝[S'(x)Δx＋0(x)]Δx＝0(Δx)，即ΔV＝S(x)千奇百怪的树Δx＋0(Δx)，或dV＝S(x)dx，由此得到立体体积
⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．
由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围图形绕x轴旋转而成的立体的体积为
因为在坐标x处的截面面积为S(x)＝πf2(x)，故由⑧即得⑨．
解 取食品广告监管制度z轴为积分轴，积分变量z的取值范围是－高中班级宠物女孩小诗c≤z≤c，椭球与在z处垂
四川文理学院学报
所求椭球的体积为
例8 以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积．
解 取垂直于截面的直径方向为x轴，即积分轴，在沿x轴的截面上建立坐标系如图1．
被截下的部分可以视为由阴影部分绕x轴旋转所得的旋转体，其体积为
其中h的取值范围可以是0＜h＜2R．此即立体几何中的球缺体积公式．
例9 设底半径为a的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图2，截下楔形的高为h．求此
楔形的体积．
解 取截面与底面相交的直径方向为x轴，底面中心为原点，于是考虑－a≤x
所求楔形体积为
例10 求由内摆线(星形线)绕x轴旋转所成的旋转体的体积．
解 摆线在0≤t≤2π上有
生存主义0≤x≤2πa，y≥0．
且dx＝a(1－cost)dt．
故由旋转体体积公式得
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