工程弹塑性力学读书报告
学院：土环学院
班级：土建6班
姓名：于鹏强
学号：S2*******
2015年12月
经过半学期对工程弹塑性力学的学习，在平时学习过程中以及做题中难免会遇到很多问题，下面我就将在学习和做题中遇到的问题以及自己对感兴趣问题的学习心得和总结的规律列在下面，以便于更深刻的理解。
显然，对于一个特定的力学模型（给定边界形状，弹性参数，边界条件），它的应力结果必然是唯一的。
教材28页中这样写道：当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，就不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量x σ，y σ，xy τ的分布是相同的。
可是，在土力学中我们知道土的静止侧压力系数1K μ μ
=
-，即
1y x z z σσμσσμ==-。显然，对于相同的边界形状以及相同的受力情况下，对于不同的土层，
x
z
σσ的值与泊松比μ有关，这与书中28页写的结论相违背。那么这是为什么呢？
下面是我对这一问题的分析过程。
【例1】为了简便计算，假设体力不计，半无限体的边界上受法向均布拉力
q ，如图所示，求应力分布。
解：半逆解法。设2()f ρϕΦ= ①代入相容方程，得
422421d ()d ()[4]0d d f f ϕϕρϕϕ
+= 得 ()cos 2sin 2f A B C D ϕϕϕϕ=+++
2(cos2sin 2)A B C D ρϕϕϕΦ=+++
注意对称性，关于0ϕ=正对称，所以Φ为ϕ的偶函数，即0B C ==。
②求解应力分量：
2cos 222cos 222sin 2A D A D A ρϕρϕσϕσϕτϕ
⎧=-+⎪
包涵体蛋白
=+⎨⎪
=⎩ ③根据边界条件求解系数
2
()
q ϕπϕσ=±
=，2
()
0ρϕπϕτ=±
=
可得： 22A D q -+= （1） 边界条件不能求解出全部系数。下面我们来根据位移条件确定系数。 经计算可求得：
21[2(1)2(1)cos 2]cos sin 11u D A I K E ρμμμϕρϕϕμμ-=--+++--
()
21sin 2cos sin u A H K I E
ϕμρϕρϕϕ+=
++- 式中，,,I K H 为刚体位移。 根据对称性，可得0H K ==
此外，值得注意的是，该问题中，任意竖直轴均为对称轴，因此 ()(),u x y u x =， (),0v x y =。 把,u u ρϕ转化为,u v ，得： 21[2(1)2(1)]11u D A x I E μμμμμ-=--++--
21[2(1)2(1)]11v D A y E μμμμμ-=-++--
由(),0v x y =得，
2(1)2(1)011D A μ
μ
μ
μ
-
++
=-- （2）
式（1）（2）联立得
()()1241q A μμ--=
- ， ()
41q
D μ=-
因此：
()()1211cos 2221211cos 22212sin 222q q q
ρϕρϕμσϕμμσϕμμ
τϕμ⎧⎡⎤-=--⎪⎢⎥
-⎣⎦⎪
⎪⎡⎤-⎪=-+⎨⎢⎥-⎣⎦⎪
⎪-=-⎪-⎪⎩
坐标转换得
,
,
01x y xy q q μ
σστμ
==
=-
这个结果是正确的。
但是，如果我们在用应力边界条件确定系数的时候，对于2
()0ρϕπϕτ=±
=这个
条件可令0A =，则2
q
D =
此时， ,,0q q ρϕρϕσστ===
坐标变换得： ,
,0x y q q ρϕσστ===
此解满足相容方程，边界条件，平衡方程，并且适应于教材28页写的结论，但是此解是错误的，经验证，它并不满足位移对称性条件，即
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(),0v x y ≠。
由上例可以看出，在常体力单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样的分布外力，其应力分量,,x y xy σστ的分布相同，该结论对于半无界体而言不一定成立，这是因为在确定待定系数的时候，应力边界条件并不能把所有系数完全确定，需要利用位移相关的条件，就可能导致系数中出现弹性常数，上例就是一个典型的例子。
上例也说明，用应力法求解平面问题时，在区域内满足相容方程、平衡方程，在边界上满足边界条件的解唯一，不一定恒成立。对于有界区域而言，边界条件可以完全确定待定系数，该结论成立；对于有的半无界区域问题而言，边界条件不能完全确定待定系数，只满足三个方程得解中含有未知数，解不唯一，这时需要利用位移的相关条件来确定待定系数，以求得唯一解。
下面讲解的是我在大量做习题的过程中总结的一点规律，有助于快速解题。
二、利用对称性简化应力函数
在应力解法中，利用对称性可以使应力函数中的某些待定系数为零，从而简化计算。
为了方便讨论，我们先来介绍几个概念
在三维情况下，有平面对称（关于一个面对称），轴对称（中心轴对称，即关于无数个面对称）；对应到二维情况下，有轴对称（即关于某一条线对称），点对称（关于中心点对称）。
值得注意的是，这里说的二维情况下的轴对称与弹性力学教材中的轴对称不同，弹性力学教材中的轴对称即为这里的点对称。为了方便，后面用的统一是这里介绍的定义。
正对称：结构和受力都关于对称轴正对称。
反对称：结构关于对称轴正对称，受力关于对称轴反对称。（结构力学中的定义）
正对称情况下，应力都是关于对称轴正对称的，反对称情况下，应力都是关于对称轴反对称的（结构力学的结论）；根据弹性力学对正应力，切应力正负的定义，可以知道正应力是正对称力，切应力是反对称力，即,,,
x yρϕ凤凰财经峰会
kugoo2013下载σσσσ为正对
称力，,
xyρϕ
ττ为反对称力。
因此，
正对称情况下，正应力关于对称轴是偶函数，切应力关于对称轴是奇函数；且对称轴上切应力为零；
反对称情况下，正应力关于对称轴是奇函数，切应力关于对称轴是偶函数，且对称轴上正应力为零。
陕西林业科技以上讨论的是应力关于对称轴的奇偶性，下面来推导出应力函数关于对称轴的奇偶性。
（1）在平面直角坐标系中
因为
2
2
x y
热女σ
∂Φ
=
∂
，
2
2
y x
σ
∂Φ
=
∂
，
所以应力函数Φ与x σ，y σ关于对称轴的奇偶性相同。（这里的Φ为去掉一次项与常数项之后的应力函数）
（2） 在极坐标情况下
对称轴一般是*
ϕϕ=，因为22ϕσρ
∂Φ=∂，所以ϕσ关于*ϕϕ=的奇偶性与Φ关于
*ϕϕ=的奇偶性相同。
综上所述：
正对称情况下，应力函数关于对称轴为偶函数； 反对称情况下，应力函数关于对称轴的奇函数。 下面利用对称性来解几个例题。
2．1平面直角坐标系下的轴对称
2．1．1正对称
【例2】（教材41页）如图所示为一矩形截面的简支梁，高度为h ，长度为
2l 。假定在梁的上面边界上作用有大小为q 的均布荷载，方向向下。求应力分量。
解：半逆解法。设()y f y σ=
()()()2122x f y xf y f y ∴Φ=++
代入相容方程，得
()()()()44
421224442
1202d f y d f y d f y d f y x x dy dy dy dy
+++= ()
44
0d f y dy =，()4140d f y dy =，()()4224220d f y d f y dy dy += ()()2323254322106x A B
Ay By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky ∴Φ=++++++--++
该结构关于0x =正对称，因此Φ为x 的偶函数，
0E F G ∴===
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