阅读与思考
线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连． 解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：
例题与求解
【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________． (安徽省竞赛试题)
解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．
【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为( ) (北京市竞赛试题)
A． B． C． D．
解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，
求证：CD＝2EC． (宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
桃花心木教学实录(1) 猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
(2) 当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；
(3) 如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由． （营口市中考试题）
图① 图② 图③
解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．
【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠城市生活2008ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM． （“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明通州事件DM＝EM．
【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，李小兵sy>超市人力资源管理Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB． （全国初中数学联赛题）
解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．
A 级
1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．
(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；
(2)如果把结论中的平行四边形汉阙EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________． （湖北省黄冈市中考试题）
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________． (重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________． （南京市中考试题）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．
（北京市中考试题）
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