2013年全国初中数学联赛初试解答
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、已知，则，，的大小关系是（ ）
A： B． C． D．
解：由，得，从而，所以，
又，所以．故选D．
2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP， 过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为
A． B．16 C． D．32
解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP＝，因此正方形ABCD的边长为，所以面积为．
故选C．
3、若实数，满足，则的取值范围是（ ）
A： a≤－1 B：a≥－1 C：a≤1 D：a≥1
△＝(－2)2－4(a－2)≥0解得． a≤－1
或：原式化为a＝－b2＋2b－2＝－(b－1)2－1≤－1
故选A．
4、如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（ ）
A． B．
C． D．
解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，
那么BM=AM=，CN=3，DN=，
，
所以48，所以AD=．
故选B．
5、方程的正整数解的组数是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
解：化简为＝设：x＋y＝3a，xy＝7a，且a≠0，则x，y可以看成一元二次方程m2－3am＋7a＝0的两根，而方程的判别式小于0，所以m没有实数解
故答案选A．
6、已知实数满足，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
解：显然x＋y＋z≠0，否则
由已知得
即
所以．
故选B．
二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）
1、是正整数，○x表示的正约数个数，则③×④÷⑥福清进修校等于 ．
解：③，④，⑥，所以③×④÷⑥．故填．
2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是s7520
． 解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草．
因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组
＝＝
由＝得．
代入＝中，得，
解得．故填96．
3、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且角MAN=60°，则AB的长是 ．
解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．
则CF=AB，则NF=，过N作NH垂直AF于H，
则AH=，湖南电视台百科全说，故，
．所以．
故填．
4、小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是 ． 解：设输漏的一是m，则＝＝＝＝＝－＋1＝
n－＝，n＝＋。因为1＜m＜n，所以0＜＜2，
＜＋＜，即59.5＜n＜61.5，所以n＝60（舍去，m不是正整数）或 n＝工程管理系统61，当n＝61，m＝46。
三、（本大题满分20分）
解方程．
解：当x≥时，原方程可化为，
解得，．
又因为，故应舍去． 10分
当时，原方程可化为，
解得，．
又因为，故应舍去．
所以原方程的解为和． 20分
四、（本大题满分25分）
如图，圆内接四边形ABCD中，CBCD，
求证：CA2－CB2＝AB×AD；
证明：连结BD、AC交于点E，则
∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD
所以△∽△， 5分
所以，
马斯洛
所以AB×AD＝AC×AE． 10分
又∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB
所以△∽△， 15分
所以，
所以，CB2＝CA×CE 20分
所以CB2＋AB×AD＝CA×CE＋AE×AC
CB2＋AB×AD＝AC×(CE＋AE) ＝AC2
所以．CA2－CB2＝AB×AD 25分
五、（本大题满分25分）
已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，．(包一峰
R)． （1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；
（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1．求线段A1B1的长的取值范围．
（1）证明：由消去y得，
． 5分
∵，，
∴，．
∴，
∴，即两函数的图象有两个不同的交点． 10分
（2）解：设方程的两根为和，
则x1+x2，x1x2． 15分
． 20分
∵，，∴，
∴，解得．
∴，故． 25分
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