1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 2017年全国初中数学联合竞赛试题
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 第一试(A)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.已知实数a ,b ,c 满足2a +13b +3c =90,3a +9b +c =72,则3b +c a +2b =( ) A .2 B .1 C .0 D .-1
2.已知△ABC 的三边长分别是a ,b ,c ,有以下三个结论:
(1)以a ,b ,c 为边长的三角形一定存在;
(2)以a 2,b 2,c 2为边长的三角形一定存在;
(3)以|a -b |+1,|b -c |+1,|c -a |+1为边长的三角形一定存在.
其中正确结论的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
3.若正整数a ,b ,c 满足a ≤b ≤c 且abc =2(a +b +c ),则称(a ,b ,c )为好数组.那么,好
鼯猴数组的个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
4.设O 是四边形ABCD 的对角线AC ,BD 的交点,若∠BAD +∠ACB =180 ,且BC =3,
AD =4,AC =5,AB =6,则DO OB =( )
A .109
B .87
C .65
D .43
5.设A 是以BC 为直径的圆上的一点,AD ⊥BC 于点D ,点E 在线段DC 上,点F 在CB 的
延长线上,满足∠BAF =∠CAE .已知BC =15,BF =6,BD =3,则AE =( )
A .43
B .213
C .214
D .215
6.对于正整数n ,设a n 是最接近n 的整数,则1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 200
=( ) A .1917 B .1927 C .1937 D .1947
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.使得等式1+1+a =3a 成立的实数a 的值为______.
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2.如图,平行四边形ABCD 中,∠ABC =72︒,AF ⊥BC 于点F ,AF 交BD 于点E ,若DE =
2AB ,则∠AED =______.
3.设m ,n 是正整数,且m >n .若9m 与9n 的末两位数字相同,则m -n 的最小值为____.
4.若实数x ,y 满足x 3+y 3+3xy =1,则x 2+ y 2的最小值为______.
第一试(B)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.已知二次函数y =ax 2+bx +c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点,则二次函数y =a 3x 2+b 3x +
c 3的图象与x 轴的交点个数为( )
A .0
B .1
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C .2百度天下
D .不确定
上海柯达电影院2.题目与(A )卷第1题相同.
3.题目与(A )卷第3题相同.小学生论坛
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4.已知正整数a ,b ,c 满足a 2-6b -3c +9=0,-6a +b 2+c =0,则a 2+b 2+c 2=( )
A .424.
B .430.
C .441.
D .460.
5.设O 是四边形ABCD 的对角线AC ,BD 的交点,若∠BAD +∠ACB =180,且BC =3,AD
=4,AC =5,AB =6,DO OB =( )
A .43
B .65
C .87
D .109
6.题目与(A )卷第5题相同.
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.题目与(A )卷第1题相同.
2.设O 是锐角三角形ABC 的外心,D ,E 分别为线段BC ,OA 的中点,∠ACB =7∠OED ,
∠ABC =5∠OED ,则∠OED =______.
3.题目与(A )卷第3题相同.
4.题目与(A )卷第4题相同.
第二试(A)
一、(本题满分20分)已知实数x ,y 满足x + y =3,1x +y 2+1x 2+y =12
,求x 5+y 5的值. 二、(本题满分25分)如图,△ABC 中,AB >AC ,∠BAC =45︒,E 是∠BAC 的外角平分线与
△ABC 的外接圆的交点,点F 在AB 上且EF ⊥AB .已知AF =1,BF =5,求△ABC 的面积.
三、(
)求所有的正整数数对(a ,b ),使得a 3=49×3b +8.
3文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第二试(B)
一、(本题满分20分)已知实数a ,b ,c 满足a ≤b ≤c ,a +b +c =16,a 2+b 2+c 2+14abc = ,
求c 的值.
二、(本题满分25分)求所有的正整数m ,使得22m -1-2m +1是完全平方数.
三、(本题满分25分)如图,O 为四边形ABCD 内一点,∠OAD =∠OCB ,OA ⊥OD ,OB ⊥
OC .求证:AB 2+CD 2=AD 2+BC 2.