2012年全国初中数学联赛试卷

一、选择题：〔此题总分值42分，每题7分〕

1．〔7分〕已知，，，那么a，b，c的大小关系是〔〕

	A．	a＜b＜c	B．	a＜c＜b	C．	b＜a＜c	D．	b＜c＜a

2．〔7分〕方程x2+2xy+3y2=34的整数解〔x，y〕的组数为〔〕

	A．	3	B．	4	C．	5	D．	6

3．〔7分〕已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为〔〕

	A．		B．		C．		D．

4．〔7分〕已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为〔〕

	A．		B．	0	C．	1	D．

5．〔7分〕假设方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所有可能的值之和为〔〕

	A．	0	B．		C．	﹣1	D．

6．〔7分〕由1，2，3，4这四个数字组成四位数〔数字可重复使用〕，要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有〔〕

	A．	36个	B．	40个	C．	44个	D．	48个

二、填空题：〔此题总分值28分，每题7分〕

7．〔7分〕已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=　_________　．

8．〔7分〕使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为　_________　．

9．〔7分〕在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=　_________　．

10．〔7分〕已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=　_________　．

三、解答题〔共3小题〕

11．〔20分〕已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

12．〔25分〕如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

13．〔25分〕已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A〔x1，0〕、B〔x2，0〕〔x1＜x2〕两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M〔0，〕，假设AM∥BC，求抛物线的解析式．

2012年全国初中数学联赛试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：〔此题总分值42分，每题7分〕

1．〔7分〕已知，，，那么a，b，c的大小关系是〔〕

	A．	a＜b＜c	B．	a＜c＜b 比较优势	C．	b＜a＜c	D．	b＜c＜a

考点cnki：	二次根式的混合运算；实数大小比较。811336
专题：	计算题。
分析：	先求出a、b、c的倒数并分母有理化，然后根据一个数的倒数越大，则这个数越小，进行大小比较．
解答：	解：∵a=﹣1，b=﹣，c=﹣2， ∴==+1，==+，===+1=+1， ∵+1＜+1＜+，李汝革 ∴0＜＜＜，因此b＜a＜c．故选C．
点评：	此题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，求差、求商或求倒数是实数大小比较常用的方法，此题想到求倒数，根据比较倒数的大小从而得出原数的大小是解题的关键．

2．〔7分〕方程x2+2xy+3y2=34的整数解〔x，y〕的组数为〔〕

	A．	3	B．	4	C．	5	D．	6

考点：	非一次不定方程〔组〕。811336
分析：	首先将原方程变形为：〔x+y〕2+2y2=34，即可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，解此方程即可求得答案．
解答：	解：方程变形得：〔x+y〕2+2y2=34， ∵34与2y2是偶数， ∴x+y必须是偶数，设x+y=2t，浏阳霉素则原方程变为：〔2t〕2+2y2=34， ∴2t2+y2=17，它的整数解为，则当y=3，t=2时，x=1；当y=3，t=﹣2时，x=﹣7；当y=﹣3，t=2时，x=7；当y=﹣3，t=﹣2时，x=﹣1． ∴原方程的整数解为：〔1，3〕，〔﹣7，3〕，〔7，﹣3〕，〔﹣1，﹣3〕共4组．故选B．
点评：	此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：〔x+y〕2+2y2=34，由x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，从而得新方程2t2+y2=17．

3．〔7分〕已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为〔〕

2011江西高考英语

	A．		B．		C．		D．腺鳞癌

考点：	正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理。811336
分析：	利用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出DG=GP=PE=DE=，再利用勾股定理得出BG的长即可．
解答：	解：过点C作CP∥BG，交DE于点P． ∵BC=CE=1， ∴CP是△BEG的中位线， ∴P为EG的中点．又∵AD=CE=1，AD∥CE，在△ADF≌△ECF中， ∵， ∴△ADF≌△ECF〔AAS〕， ∴CF=DF，又CP∥FG， ∴FG是△DCP的中位线， ∴G为DP的中点． ∵CD=CE=1， ∴DE=，因此DG=GP=PE=DE=．连接BD，易知∠BDC=∠EDC=45°，所以∠BDE=90°．又∵BD=， ∴BG===．故选：D．
点评：	此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．

4．〔7分〕已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为〔〕

	A．		B．	0	C．	1	D．

考点：	二次函数的最值；完全平方公式。811336
专题：	常规题型。
分析：	利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
解答：	解：∵〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2≥0， ∴2\|ab\|≤a2+b2=1， ∴﹣≤ab≤，令y=a4+ab+b4=〔a2+b2〕2﹣2a2b2+ab=﹣2a2b2+ab+1=﹣2〔ab﹣〕2+，当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大，当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，故当ab=﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2〔﹣﹣〕2+=﹣2×+=0，即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当\|a\|=\|b\|时，ab=﹣，此时a=﹣，b=，或 a=，b=﹣．故选B．
点评：	此题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．

本文发布于:2024-09-21 00:51:09，感谢您对本站的认可！

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