2013年全国初中数学联赛试题及详解

20XX全国初中数学联合竞赛试题与详解

第一试

一、选择题〔本题满分42分，每小题7分〕

1.计算〔〕

〔A〕〔B〕1 〔C〕〔D〕2

[答案]〔B〕

[解析]原式=，故选〔B〕.

2.满足等式的所有实数的和为〔〕

〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕6

[答案]〔A〕

[解析]分三种情况进行讨论：

〔1〕若，即时，满足已知等式；

〔2〕若，即时，满足已知等式；

〔3〕若，即且时，由已知，得解得，

故满足等式争议可的所有实数的和，故选〔A〕.

3.已知是圆的直径，为圆上一点，，的平分线交圆于点，若，则=〔〕

〔A〕2 〔B〕〔C〕〔D〕3

[答案]〔A〕

[解析]连接,过点作于点，则

,,从而,由是圆的直径，得,因平分,故,,

在中，∵,,∴,故选〔A〕.

4.不定方程的全部正整数解的组数为〔〕

防尘服标准〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4

[答案]〔B〕

[解析]由，得，因北服莱佛士为正整数，故，从而于是，，即

，由，知，故，，故或

当时，；当时，.

故原不定方程的全部正整数解有两组：，,故选〔B〕.

5.矩形的边长,为的中点,社会学三大奠基人在线段上,，分别与,交于点,则=〔〕

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

[答案]〔CINBOS〕

[解析]因,故

,,因,故,故,故.延长交于点,则由为的中点，知,故,,因元极舞,故,故，故,于是

故选〔C〕.

6.设为正整数，若不超过的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称为“好数〞那么，所有“好数〞之和为〔〕

〔A〕33 〔B〕34 〔C〕2013 〔D〕2014

[答案]〔B〕

[解析]因既不是质数，也不是合数，故“好数〞一定是奇数.

设不超过的正整数中，质数的个数为,合数的个数为,当时，列表如下〔只考虑为奇数的情况〕：

由上表可知，都是“好数〞.

因，当时，在的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有

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