2013年全国初中数学联赛（四川决赛）解答
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、若反比例函数x
k
y =
的图像与直线14-=x y 的一个交点P 的横坐标为1， 则=k （ ）
A 、3-
B 、1-
C 、1
D 、3
解：由条件知)3,1(P ，于是1
3k
=
杭电学报，即3=k ．故答案选D ． 2、方程2
2012||20130x x -+=的所有实数解之和是（ ） A 、2012-
B 、0
C 、2012
D 、2013 解：若0x 是方程2
2012||20130x x -+=的实数解，则0x -也是该方程的实数解． 所以，该方程的所有实数解之和是0．故答案选B
3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且满足CF BE =． 则AEF ?面积的最小值是（ ）
A 、
8 B C 、14 D 、38
解：设x BE =，则x DF CE -==1，x CF =，
)1(21)1(21211x x x x S AEF -----
=?=83]43)21[(212≥+-x ，当2
1
=x 时等号成立。 所以，AEF ?面积的最小值是83
．故答案选D ．
4、已知实数,a b 满足2|1||1|a b a -+=，则b
a 的值为（ ）
A 、
电视剧新施公案14 B 、1
2
C 、1
D 、2 解：若2b =，则|1|5a a -+=，没有符合条件的实数a ；
若2b ≠，则2
(2)0b ->，则20a -≥，于是2|1||1|a b -+
101a a ≥-++=，等号成立220,11a b -=+=，即2,0a b ==．所以1b a =．
故答案选C ．
5、在四边形ABCD 中，1AB BC ==，100ABC ∠=
，130CDA ∠=
，则BD 的长为（ ）
A B 、1 C D
解：如图，延长AB 至E ，使得BE BC =， 则1
502
AEC BCE ABC ∠=∠=
∠= ， 于是180AEC ADC ∠+∠=
，故,,,A E C D 四点共圆，且圆心为B ．
所以，1BD BA ==．故答案选B ．
6、对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们称
||||2121y y x x -+-叫做21,P P 两点的直角距离，记作),(21P P d ．若),(000y x P 是一定点，),(y x Q 是直线b kx y +=上的动点，我们把),(0Q P d 的最小值叫做点0P 到直线b
观沧海赏析kx y +=的直角距离．则)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是（ ）
A 、3
B 、
72 C 、4 D 、9
2
解：由条件知，设)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是d ，
则d 为|1||251|S x x =-++-的最小值．又|(2)||1||(2)|S x x x =--+-+-- 3|(2)|303x ≥+--≥+=，等号当且仅当2x =-处取得．所以S 的最小值为3. 即3d =．故答案选A ．
二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）
1、若x 是整数，且满足不等式组10
214x x ->??
-
，则x = ．
解：解不等式组10214
x x ->??-
12x <<．因此符合条件的整数2x =．故答案填2．
2、在等边ABC ?中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD CE =，BE 与CD 相交于点F ，则BFC ∠的大小是 ．
解：由条件知ADC ?≌CEB ?(SAS ),故ACD CBE ∠=∠, 于是60EFC FBC FCB ECF FCB ∠=∠+∠=∠+∠=
所以120BFC = .故答案填120
．
3、实数,,x y z 满足222
27x y z xy yz zx ++---=，则||y z -的最大值是 ． 解：法一：视原方程为关于x 的一元二次方程2
2
2
()270x y z x y z yz -+++--=，其判别式2
2
2
()4(27)0y z y z yz ?=+-+--≥，即2
北京优创科技有限公司总裁()36y z -≤，故||6y z -≤． 当||6y z -=，且2
y z
x +=
时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6． 法二：因为222223
27[()]()24
y z x y z xy yz zx x y z +=++---=-+-
23()4y z ≥-，从而||6y z -≤．当||6y z -=，且2
y z
x +=
时等号成立． 所以||y z -的最大值是6．故答案填6．
令状制度
4、已知1231415,,,,,x x x x x 取值为1或者为1-． 记1223341415151S x x x x x x x x x x =+++++ ， 则S 能取到的最小正整数是 ．
解：令1(1,2,,15)i i i y x x i +== ，约定161x x =．则1i y =或者1-． 在1215,,,y y y 中，设有a 个取1，b 个取1-．则15a b +=． 又因为2
121512151(1)()1a
b吸虫纲
y y y x x x ?-=== ，所以b 为偶数． 又由S 为正整数，则1523S a b b =-=-≥，此时6b =．
另一方面，在1215,,,x x x 中，2581x x x ===-，其余全取1有3S =． 所以，S 能取到的最小正整数是3．故答案填3．
三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）
1、抛物线2
2y x x m =++与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，其中12x x >， 且22
1210x x +=． （1）求实数m 的值；
（2）设0(2,)M y 抛物线2
2y x x m =++上的一点，在该抛物线的对称轴上一点P ，使得PA PM +的值最小，并求出P 的坐标． 解：（1）由条件知122x x +=-，12x x m =．
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