2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若,,a b c 均为整数且满足10
10
()()1a b a c -+-=，则
||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）
A ．1.
B ．2.
C ．3.
D ．4.
2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0.
B ．1.
C ．2.
D ．3.
3．若b a ，是两个正数，且 ,011微软安全技术中心
1=+-+-a
b b a 则 （ C ）
A ．103a b <+≤.
B ．113a b <+≤.
C ．4
13
a b <+≤. D ．
4
23
a b <+≤. 4．若方程2
310x x --=的两根也是方程4
2
0x ax bx c +++=的根，
则2a b c +-的值为 （ A ）
A ．－13.
B ．－9.
C ．6.
D ． 0.
5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2，则=∠DCB ( B )
A ．15°.
B ．20°.
C ．25°.
D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如8866小游戏
2009200911
a =+++=，
201020103
a =+++=，则
12320092010a a a a a +++++=
L
（ D ）
A ．28062.
B ．28065.
C ．28067.
D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,
x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .
2．二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=
，︒=∠30CAO ，
则c = 1
9
． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ＝
PC ＝5，则PB ＝．
4．将若干个红、黑两种颜的球摆成一行，要求两种颜的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A ）
一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足2 2
2
13a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 解 由已知等式可得
222()()()26
a b b c a c -+-+-=
①
令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为2
2
2
()26m n m n +++=，即
2213
m n mn ++=
②
由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：
3,1
m n =⎧⎨
=⎩和1,
3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得25
3
c ≤.因此25
33
c <≤
，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233
c ≤.因此23
13
c <≤
，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.
证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.
因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC. 由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.
又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.
又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.
越明年三．（本题满分25分）已知二次函数2
y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .
（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.
（2）设二次函数2
y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程2
0x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2
y x bx c =+-的图象上，故
1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.
（1）由8c b a <<；知8293,
938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩
解得13a <<.
又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.
(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.
由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去
a ，得98()6mn m n -+=-，
两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得
(98)(98)10m n --=.
所以981,9810,m n -=⎧⎨
-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,
982,m n -=-⎧⎨-=-⎩
N
C
A
解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,93
2,
3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.
因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为
232y x x =-+.
易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为
1
(21)212
⨯-⨯=. 第二试 （B ）
一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足
22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的
个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得
222()()()26
a b b c a c -+-+-=
①
令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为2
2
2
()26m n m n +++=，即
2213
混沌模式
m n mn ++=
②
由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：
3,1m n =⎧⎨
=⎩
和1,
3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得25
3
c ≤.因此25
33
c <≤
，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
肺透明膜病
（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角
形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233
厦航高郡c ≤.因此23
13
c <≤
，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.
第二试 （C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数
4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个
为整数，求k 的值．
解 由题意知，方程04)1(2
=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得4)1(,
2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有
p
k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++
①
（1）若1k =，则方程为0)2(22
=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．
（2）若1k >，则01>-k .
因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.
又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．
不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得21
2k x m
-+=
， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+
，即121
4k x x mp m
-++=+． 又12x x p +=-，所以1
4k p mp m
--+=+，即
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
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