2011年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题一、选择题
1．一个凸多边形的每一个内角都等于150150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有 【 】】
A ．42条
B B．．54条
C C．．66条
D D．．78条
2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠平分∠BAD BAD 交BC 于E ．若∠．若∠CAE CAE CAE＝＝1515°，则°，则°，则 ∠BOE BOE＝【＝【＝【 】】
A ．3030°°
B B．．4545°°
C C．．6060°°
D D．．7575°° O
E Dbs标准
C
B A
3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的根分别是
【 】】
A ．a ，b
B b B．－．－．－a a ，－，－b
C b C b C．．c ，d
D d D．－．－．－c c ，－，－d d
4．若不等式2133x x a -+-£有解，则实数a 的最小值是【的最小值是【 】】 A ．1
B 1 B．．2
C 2 C．．4
D 4 D．．6
5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是【“不规则三角形”的个数是【 】】
A ．18
B 18 B．．24
C 24 C．．30
D 30 D．．36
6．不定方程22
25x y -=的正整数解（的正整数解（x x ，y ）的组数是【）的组数是【 】】
A ．0组
B B．．2组
C C．．4组
D D．无穷多组．．无穷多组．．无穷多组．
二、填空题二、填空题
7．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x=1对称，则y 的最小值是的最小值是______________________________．． 8．已知31a =-，则20122011201022a a a +-的值为的值为_______________________________________．．
9．已知△．已知△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝39，BC BC＝＝6，CA CA＝＝3，点M 是BC 的
中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是的长度是_____________________________________________．．
1010．一次棋赛，有．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n 10n－－1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是的所有可能值是______________________________．．
三、解答题三、解答题
1111．． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22
(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．的所有可能值．
1212．抛物线．抛物线2
y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△满足△CAN CAN 是等腰直角三角形，且S △BMN =
52
S △AMN ．求该抛物线的解析式．．求该抛物线的解析式．
3．如图，．如图，AD AD AD、、AH 分别是△分别是△ABC ABC ABC（其中（其中AB>AC AB>AC）的角平分线、高线，）的角平分线、高线，）的角平分线、高线，M M 是AD 的中点．△的中点．△MDH MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠．求证：∠AEB AEB AEB＝＝9090°．°．°．
E
H M
D C
B A
A 1
A 2
2011年全国初中数学联合竞赛年全国初中数学联合竞赛
试题参考答案试题参考答案
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题各题,，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,，不要再增加其他中间档次不要再增加其他中间档次..如果考生的解答方法和本解答不同解答方法和本解答不同,，只要思路合理只要思路合理,，步骤正确步骤正确,，在评卷时请参照本评分标准划分的档次在评卷时请参照本评分标准划分的档次,，给予相应的分数给予相应的分数. . 一、选择题一、选择题((本题满分42分，每小题7分)
礼乐制度
1、B B 凸多边形的每一个外角都等于凸多边形的每一个外角都等于3030°°，则n=12,n=12，这个凸多边形所有对角线的条数总这个凸多边形所有对角线的条数总
共有(3)542
n n -= 2、D AB=AO=BO=BE
3、A
2
()()0(1)0
x a x b x x a b x ab ---=Þ-+++=12121;x x a b c d x x ab cd +=++=+== 2()()0(1)0
x c x d x x c d x cd --+=Þ-+-+=12121;x x c d a b x x cd ab +=+-=+==
故12,x a x b ==
4、C C 设设2133y x x =-+-，讨论当1;13;3x x x <££>，得出当x=3时y 的最小值为
4.
5、B B 如图，当选定一个面的一条对角线后，对应了两个“不规则三角形”如图，当选定一个面的一条对角线后，对应了两个“不规则三角形”
，而每个面有2条，一共有8个面，故有2×2×8=24
6、A
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）分）
1、1 21
2、、0 30
mpr121
3、、2
3 4 4、、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）分）
1、（本题满分20分）分）
已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。求实数a 的所有可能值。的所有可能值。
`解：由条件知056)12(4)13(2
22³+-=---=D a a a a ，
解得5³a 或1£a ． （（5分）分） 又由根与系数的关系知)13(2
1--=+a x x ，12221-=a x x ， 于是2
12212122212121
权责发生制原则
16)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--
19185)12(16)13(3222+--=---=a a a a ， （
（10分）分） 由80191852
-=+--a a ，解得3=a （舍去）或533-
=a ． （（15分）分） 于是533
-=a ．综上所述，所求的实数533-=a ． （（ 20分 ）
2、（本题满分25分）分）
treo600抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点)
0,(),0,(21x N x M ，且经过点)1,0(A ，
霸权稳定论其中210x x <<．过点A 的直线l 与x 轴交于点.C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满
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