2006年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设．则下面关于的说法中，正确的是（ ） A．均为常值． B．为常值，不为常值．
C.不为常值，为常值． D.均不为常值．
2．已知为实数，且是关于的方程的两根．则的值为（ ）
A. ． B. ． C. ． D.1．
3．关于的方程仅有两个不同的实根．则实数的取值范围是（ ）
A.a＞0． B.a≥4． C.2＜a＜4． D.0＜a＜4．
4．设则实数的大小关系是 ( )
A. ． B. ． C. ． D. ．
5．为有理数，且满足等式,则的值为 ( )
A.2． B.4． C.6． D.8．
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为 ( )
A．2000． B．2004． C．2008． D．2012．
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
8．在等腰中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF＝ ．
9．使取最小值的实数的值为 ．
10．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足.就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为 ．
注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试（A）
一、（本题满分20分）已知关于的一元二次方程无相异两实根．则满足条件的有序正整数组有多少组?
二、（本题满分25分）如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF＝90°．ED＝DF＝1，AD＝5．求线段BC的长．
三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△灰尘的作用CEF、△ABE的外心．
求证： (1)O、E、O1三点共线；(2) ．
第二试（B）
一、（本题满分20分）题目与（A）卷第一题相同．公正该如何是好
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二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同．
三、（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长
心理杂志订阅线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．
(1)求证：O、E、01三点共线；(2)若求的度数．
第二试（C）
一、（本题满分20分）题目与（A）卷第二题相同．
二、（本题满分25分）题目与（B）卷第三题相同．
三、（本题满分25分）设为正整数，且．在平面直角坐标系中，点和点的连线段通过个格点．
证明： (1)若为质数，则在原点O(0，0)与点fromsport的连线段上除端点外无其他格点；
(2)若在原点O(0，0)与点的连线段上除端点外无其他格点，则p为质数．
2007年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 已知满足，则的值为（ ）
A．1. B．. C．. D．.
2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）
A．－1. B．1. C．0. D．2007.
3. 设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是（ ）
A．等腰三角形. B．锐角三角形. C．钝角三角形. D）直角三角形.
4. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（ ）
A．30°. B．45°. C．60°. D．75°.
5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（ ）
A．. B．. C．. D．.
6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）
A．. B．. C．. D．.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则___ ．
2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= ．
3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为
．
4． 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是
．
第二试（A）
一、（本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.
二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.
三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.
第二试（B）
一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.
二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.
第二试（C）
一、（本题满分20分）题目与（B）卷第一题相同.
二、（本题满分25分）题目与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.
2008年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．设，，且，则代数式的值为（ ）
A. 5. B.7. C .9. D.11.
2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为（ ）
ccyvA.. B.4. C.. D..
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）
A.. B.. C.. D..
4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则（ ）
A.. B..
C.. D.和的大小关系不确定.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（ ）
A.. B.. C.. D..
6． 已知实数满足，则的值为（ ）
A.. B.2008. C.. D.1.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
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