1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是
两两不同的实数，则222
23y
xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3
5． 答（ ）
２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是
（A ） 10； （B ）12；
（C ） 16； （D ）18．
答（ ）
３．
方程012=--x x 的解是 （A ）2
tiedaobu51±； （B ）251±-； （C ）
251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）
４． 已知：)19911991(211
1n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；
（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．
答（ ）
５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；
（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；
（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；
（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（ ）
６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是
金瓶梅 (10)
（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．
答（ ）
７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．
答（ ）
８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则
（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2
1； 答（ ）
（C ）c > 2； （D ）c = 2．
答（ ）
二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．
２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a
c b 32 ．周忠轩
3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q
p
n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．
４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，
CD = 6，则AD = ．
11=S 3S =1 32=S 120
135
第二试
x
x + y，x －y，x y，
y
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF
三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红，把B，D染成蓝，其他交点任意染成红、蓝两中的一种颜．证明：恰有三个顶点同的小方格的数目必是偶数． 1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论，其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.
2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是
(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.
3.若01132=+-x x ，则44-+x x 的个位数字是
(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.
答( )
4.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为
(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.
答( )
5.如图，正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k x k y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为
S 1和S 2，则S 1诠释生命
与S 2的关系是
(A)21S S > (B)21S S =
(C)21S S < (D)不确定 答( ) 6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ，则2 1S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
答( )
7.如图，在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,
︒=∠60A ，又E 是底边AB 上一点，且FE=FB=AC , F A=AB .
则AE :EB 等于
(A)1:2 (B)1:3
(C)2:5 (D)3:10
答( )
8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数，且
921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ，则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.
答( )
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若0≠x ，则x x x x 44211+-++的最大值是__________.
3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .
4.若b a ，都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(b
a a
cd13b . 第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.
二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.
求证：CD BD 2=.
三、某个信封上的两个M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
swot模型A ：320651
B ：105263
C ：612305
D ：316250
已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
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