2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试(A)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，
t =，a 是t 的小数部分，
b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ）
A.
管式避雷器1
2． ． C.1． 【答】A.
∵2
t =
=+324<+，∴31a t =-=.
又∵2t -=-423-<-<-，∴(4)2b t =---=
∴
111
22b a -===. 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么
不同的购书方案共有 （ ）
A ．9种．
B ．10种．
C ．11种．
D ．12种． 【答】C.
设购买三种图书的数量分别为,,a b c ，则30a b c ++=，101520500a b c ++=，易得202b a =-，
10c a =+，于是a 有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a 值，对应地可求出唯一的b 和c ， 所以，不同的购书方案共有11种.
3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。如: 3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”
之和为 （ ） A ．6858． B ．6860． C ．9260． D ．9262． 【答】B.
注意到3
3
2
系统工程与电子技术(21)(21)2(121)k k k +--=+，由2
2(121)2016k +≤得||10k <.
取k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为
333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .
4．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8,CD ＝2，则△BCE 的面积为 （ ）
A.12．
B.15．
C.16．
D.18． 【答】A.
设OC x =，则OA =OD 2x =+，在Rt △OAC 中，由勾股定理得2
2
2
OC AC OA +=，即2
2
2
4(2)x x +=+，解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线，所以26BE OC ==.
所以直角△BCE 的面积为1
122
CB BE ⋅=.
氢化可的松5．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒土壤固化剂
，AB AC ==1CD =，对角线的交点为M ，则DM ＝ （ ）
．
．
． D.1
2．
【答】D.
作AH BD ⊥于点H ，易知△AMH ∽△CMD ，所以
AH AM
CD CM
=
，又1CD =，所以 AM
AH CM
=
① 设AM x =
计算机工程与设计，则CM x =. 在Rt △ABM
中，可得AB AM AH BM ⋅=
=.
=
，解得x =
x =舍去）.
所以2
CM =
，12DM ==.
6．设实数,,x y z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为 （ ） A.
12． B. 23． C.3
4
． D. 1． 【答】C.
23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++
22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++
221133
2()()2244
y x x =-+---+≤，
所以23M xy yz xz =++的最大值为3
4
.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
B
C
1．已知△ABC 的顶点A 、C
在反比例函数0)y x x
=
>的图象上，90ACB ∠=︒，ABC ∠＝30°，AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB ＝6，则点C 的坐标为_______．
北工大【答】2). 作CD AB ⊥于点D
，
易求得CD =
，3
2AD =.
设(C m
，(A n ，结合题意可知
0n m >>
，(D n m
，所以CD n m =-
，
AD m n =
-
，故2n m -=
，3
2m n -=，联立解
得2
m =
，n =所以，点C
的坐标为(2)2.
2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，
CD AO =，BC OD =，则ABC ∠＝ ．
【答】126︒.
因为//BC AD ，CA 平分BCD ∠，所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠，所以DA DC =，又CD AO =，所以AD AO =，所以ADO AOD ∠=∠.
记DAC ACB ACD ∠=∠=∠＝α，ADO AOD β∠=∠=.
又//BC AD ，所以△ADO ∽△CBO ，结合AD AO =可得OC BC =，且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =，所以OC OD =，所以ODC OCD α∠=∠=. 结合图形可得：2βα=且2180αβ+=︒，解得36α=︒，72β=︒.
所以72DBC DCB ∠=∠=︒，所以BD CD AD ==，所以54DAB DBA ∠=∠=︒， 于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.
3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ． 【答】167334.
设两个三位数分别为x 和y ，由题设知10003x y xy += ①
由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-，故y 是x 的整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①式得10003t tx +=，所以10003t x t +=
.因为x 是三位数，所以10001003t x t
+=≥，从而可得1000
299t ≤，
又t 为正整数，故t 的可能的取值只能是1，2，3.
验证可知：只有t ＝2符合题意.所以t ＝2，167x =，334y =，所求的六位数为167334.
4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），
使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ．
【答】10.
依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值. 若5个1分布在同一列，则M ＝5；
若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=，所以10M ≤；
若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=，所以10M ≤； 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾. 综上所述，10M ≤； 另一方面，右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.
第一试(B)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.题目和解答与（A ）卷第1题相同. 2．题目和解答与（A ）卷第2题相同.
3．已知二次函数2
1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当a b -为整数时， ab ＝
（ ）
A ．0．
B ．14．
C ．3
4
-． D ．2-． 【答】B.
由于二次函数2
1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a <，
02b
a
-
<，10a b ++=，所以0b <；且1b a =--，于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时，因为1211a -<+<，所以210a +=，故12a =-，12b =-，所以1
4
ab =. 4．题目和解答与（A ）卷第4题相同. 5．题目和解答与（A ）卷第5题相同. 6. 题目和解答与（A ）卷第6题相同. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠
三等分，AD =则AM ＝
_______．
【答】2.
显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠，则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ，所以BD =DM
12CM =.又因为AM 平分DAC ∠，所以，由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==，即1cos 2DAC ∠=，
所以DAC ∠＝60︒，进而可得90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒.
在Rt △ADC
中，AD =30ACD ∠=︒，可求得3CD =，所以1DM =. 在Rt △ADM
中，由勾股定理得2AM =
=.
若ABC ACB ∠<∠，同理可求得2AM =.
2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.
3．若质数,p q 满足：340q p --=，111p q +<.则pq 的最大值为 ． 【答】1007.
由340q p --=得34p q =-，所以(34)pq q q =-，显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.
又因为111p q +<，即p q +＝44q -111<，所以29q <.因为q 为质数，所以q 的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q ＝23时，34p q =-＝65，不是质数；当q ＝19时，34p q =-＝53，是质数.
所以，q 的最大值为19，pq 的最大值为53×19＝1007.
4. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.
第二试 （A ）
一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求2
2
324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解 因为,a b 为正整数，要使得2
2
324M a ab b =---的值为正整数，显然有2a ≥.
当2a =时，b 只能为1，此时4M =，故2
2
324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.
………………5分
当3a =时，b 只能为1或2.若b ＝1，则M =18；若b ＝2，则M =7.
当4a =时，b 只能为1或2或3.若b ＝1，则M =38；若b ＝2，则M =24；若b ＝3，则M =2.
………………10分 下面考虑： 2
2
324M a ab b =---的值能否为1？
若1M =，即2
2
3241a ab b ---=，即2
2
325a ab b -=+ ①，注意到25b +为奇数，所以a 是奇数， b 是偶数，此时，2
2
3a ab -被4除所得余数为3，25b +被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M ≠.
因此，2
2324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分
二、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明：FN DE =.
证明 连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥， ∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.
∵CAB DAC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴△ACB ∽△ADC ，
∴
AC AB AD AC
=，∴2
AC AD AB =⋅. ……………………5分 又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知：点M 在CD 上，
B
A
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