第一篇：09年全国初中数学联赛试题及答案
09年全国初中数学联赛试题及答案
时间：2009-6-3 14:33:52 点击：15833 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设，则
.D.（）
.A.24.B.25.C.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数.B..C..D..为（）
A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）
A..B..C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则
CBE＝（D）
A..B..C..D..1
6．设是大于1909的正整数，使得A.3.B.4.C.5.D.6.为完全平方数的的个数是（）
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若则
是关于的一元二次方程的两个非负实根，的最小值是____________.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为3．如果实数满足条件，和，则四边形DECF的面积为______.，则 ______.4．已知_____对.是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有第一试答案： ACCBDB；－3，第二试（A）
一．（本题满分20分）已知二次函数别为A、B，与，－1，－7 的图象与轴的交点分轴的
交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.轴的另一个交点为定点.，求和的值.，设，则，.（1）证明：⊙P与（2）如果AB恰好为⊙P的直径且解:（1）易求得点设⊙P与的坐标为轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则因为，所以点
在轴的负半轴上，从而点D在.轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为即.，又，所以，解得.、分别是二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求解 作E⊥AB于E，F⊥AB于F...在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为连接DDA＝∠E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以、D，则D、D
＝.DC＝∠
D，分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠
D
scaler
＝90°，所以DC＝∠DB＝45°，故∠D⊥
.同理，可求得，.所以＝.三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
为我们的今天喝彩
证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即所以.因此，以
或，或，即
或
或
为三边长可构成一个直角三角形.证法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即
③，代入③式，得.，即 4，所以或
或或
.或
.结合①式可得因此，以
为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.解 因为BN是∠ABC的平分线，所以又因为CH⊥AB，所以，因此.，因此C、F、H、B
农业项目投资评估.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以四点共圆.又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知
为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以
为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将①②两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以.因此，以
或或，即或或
为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2 结合①式，由②式可得，变形，得又由①式得，即
③，代入③式，得.，即所以或或或
.或
.
结合①式可得因此，以下载附件：
关键词 摘要为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则 的值为（）．
（A）（B）（C）（D）滤波器
解： 由题设得 ．
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．
（A）a≤（B）a≥4（C）a≤ 或 a≥4（D）≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 ≥0,解得a≤ 或 a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．（A）（B）
（第3题）
（C）（D）
解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知可得（第3题）
BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是 EF＝4＋ ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ ．
4．在一列数 „„中，已知，且当k≥2时，（取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如，），则 等于（(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 由 和 可得，，，，）．
杨昌济„„
因为2010=4×502+2，所以 =2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，„„，重复操作依次得到点P1，P2，„，则点P2010的坐标是（）．（第5题）
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