数教091班王超逸48号
一兀三次方程的标准形式为aXL+bX-| +cX+d-0,将 方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为xL+xi+x+ d/a-0,所以三次方程又可简写为X1 ~~ bXq +cX+d-0.
一兀三次方程的韦达定理
设方程为
ax L+b-| x+cx+d-0
则有
xl*x2*x3二-d/a ； xl*x2+x2*x3+x3*xl二c/a ； xl+x2+x3=-b/a； 恶心现象背后的科学根据—元三次方程解法思想 一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次 方程降次为二次方程求解.
一元三次方程解法的发现
三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时， 数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战， 让他们解决同样的问题.想必这是一项很砥砺智力，又吸引 人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的.
最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了 解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑 战.塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所 以被人称为塔尔塔利亚。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握 了拉丁文，希腊文和数学.这次他成功解出了菲奥尔提出的 所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题.当时很有 名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守 秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔 丹.后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出 版的书里.在书中他写道：”波伦亚的费罗差不多在三十年 前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔.菲奥尔在与塔 尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它.塔尔塔利亚在我 的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明.我在获得帮助的 情况下出了它各种形式的证明.这是很难做到的.”卡尔 丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争 夺这种方法的优先权.他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开 全后汉文冲突.最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的.
三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解 法被保留了下来，并被错误的命名为”卡尔丹公式”沿用至 今.以下介绍的解法，就是上文中提到的解法. 一元三次方程的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演y3或
其他解法
除了上文中的卡尔丹公式，三次方程还有其它解法， 列举如下：
1.因式分解法
因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些 三次方程适用.对于大多数的三次方程，只有先求出它的根, 才能作因式分解.当然，因式分解的解法很简便，直接把三 次方程降次.例如：解方程x-x=0
对左边作因式分解，得x=0,得方程的三个根： xl-O, x2-l, x3--l.
2.另一种换元法
对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和拉碗 换元，将方程化为x+px+q=O的特殊型.令x=z-p/3z,代入并 化简，得：z-p/27z+q=0.再令 z-w,代入，得：w+p/27w+q=0.这 实际上是关于w的二次方程.解出w,再顺次解出z, X.
3.盛金公式
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有 著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式 解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、 c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公 式，并建立了新判②：当△咽一4AOO时，方程有一个实 北京新世界百货店庆根和一对共辗虚根；③：当A -Bn — 4AC-0时，方程有三个 越南火娃实根，其中有一个两重根；④：当A -4AC 盛金定 理
当b=0, c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛 金公式③无意义；当AWO时，盛金公式④无意义；当T<-1 或T>1时，盛金公式④无意义。
当b=0, c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③ 与盛金公式④是否存在AWO的值？盛金公式④是否存在T V-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=O时，若b=0,则必定有c=d=O。
盛金定理2：当A=B=O时，若b#0,则必定有c#0o
盛金定理3：当A=B=O时，则必定有C-Oo盛金定理4：
当A=0时，若B#0,则必定有A >0o
盛金定理5：当AV0时，则必定有A >0o盛金定理 6：当△二()时，若B=0,则必定有A=0。
盛金定理7：当△二()时，若BN0,盛金公式③一定 不存在AW0的值。
盛金定理8：当△<()时，盛金公式④一定不存在AW0 的值。。
盛金定理9：当A<0时，盛金公式④一定不存在 TWT或TN1的值，即T出现的值必定是-1<T<1O
显然，当AW0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当△>()时，
不一定有A<0o
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系 数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当△二()时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与 卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金 公式解题较直竞赛，参加竞赛的一方是意大利波伦亚大学教 授费罗的学生菲奥尔，另一方是N 〃丰塔纳。
引起这场竞赛的原因是解一元三次方程。
竞赛的内容是双方各出30道一元三次方程给对方， 同时开始解答，谁解得多、快，解得准确，谁就获胜。
在二十世纪以前，代数方程求解问题可以说一直是代 数学的中心问题。所谓代数方程，指的是多项式方程，即形 如
anxn+anTxnT+・・・+alx+aO=O
的方程，其中最简单的是一次方程，这类方程很容易 求解。其次是一元二次方程，二次方程的求解问题有久远的海峡两岸知识大赛 历史，巴比伦泥板中就载有二次方程问题；古希腊人和中国 《九章算术》都解出过某些二次方程；中国赵爽在解一个有 关面积的问题时，相当于得出了二次方程-x2+kx=A的一个根 x二；七世纪印度人婆罗摩笈多给出求方程x2+px-q=0的一个 根的公式x二；一元二次方程的一般解法在九世纪时，就由阿 拉伯数学家花拉子模求出来了。
对一元三次方程的研究自古有之。在巴比伦泥板中就 有相当于求解三次方程的问题；阿基米德讨论过方程 x3+a=cx2的几何解法；七世纪中国王孝通在自己的著作《缉 古算经》中提出了要用三次方程解的问题，列出三次方程并 给出三次方程的一个正解，但没有方程的列法也没有方程的 具体的解法；十三世纪，中国秦九韶进一步提出代数方程的 数值解法；公元十一世纪波斯人奥马〃海亚姆创造了奇迹： 用几何作图的方法，求出了三次方程x3-cx2+b2x+a=0的根。 但在其后的500多年里，人们虽然作了努力，却对一般的一 元三次方程一筹莫展，数学家们对此似乎己经丧失了信心。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议