基于Dolph-Chebyshev窗口滤波器的天气合成分析方法1 王元宋金杰汤杰
南京大学大气科学系·中尺度灾害性天气教育部重点实验室，南京(210093)
yuanasm@netra.nju.edu
摘要：不同于常规的基于算术平均的天气学时序合成分析技术，本文提出了一种新的合成分析方法，其时序权重系数由Dolph-Chebyshev窗口滤波器的系数决定。而所设计的Dolph-Chebyshev窗口滤波器事实上是将Dolph-Chebyshev窗口函数与低通数字滤波器相结合，与其它滤波器相比不仅能滤掉高频扰动，并可有效地抑制滤波中所产生的吉布斯震荡现象。基于Dolph-Chebyshev窗口滤波器的天气合成分析方法应用于天气过程分析，能够很好地体现出此过程中控制性天气形势的基本特征。以我国著名的“987” 梅雨锋特大暴雨过程为例，该方法很好地再现了此次梅雨锋特大暴雨过程，其控制性天气形势为鞍型场结构。 关键词：天气学合成分析方法，Dolph-Chebyshev滤波器，鞍型场
中图分类号：p458.1+1
1.引言
天气学合成分析方法是为了反映某一类天气现象在特定周期上的平均特征，利用多时次的大气动力场和热力场量，进行时序合成运算的一种天气学诊断方法。合成分析方法在天气分析中主要是用来获得控制其过程的基本天气特征和天气形势。最简单的合成分析方法是对多时次的气象资料进行等高面或者等压面的算术平均。Brown[1]曾指出，采用算术平均会平滑掉某一天气过程所具有的一些、甚至是主要的特征。为了解决这一问题，本文提出一种新的天气学合成分析方法，其时序权重系数由传统的算术平均变换为由所设计的Dolph-Chebyshev窗口滤波器的系数决定。Dolph-Chebyshev滤波器的设计事实上是将Dolph-Chebyshev窗口函数（Window Function）与Fourier（傅立叶，下同）低通数字滤波器相结合，与其它滤波器相比，它不仅能滤掉某一天气过程中的高频随机扰动，并可在合成过程中有效地抑制滤波所产生的Gibbs Oscillation（吉布斯震荡，下同）现象，这样就很好地保持其相对低频的特征，并且可避免由高频扰动和吉布斯震荡所产生的“过冲（over- or down-shooting）”现象。
本文通过比较几种附加不同窗口函数的傅立叶数字滤波器之优劣（如Lanczos窗口 [2]、Dolph-Chebyshev窗口 [3]等），进一步证实了基于Dolph-Chebyshev窗口数字滤波器的合成分析方法的优点。在对1998年7月中下旬我国长江流域发生的特大暴雨天气过程的个例合成分析中，由基于Dolph-Chebyshev窗口滤波器和传统的算术平均的合成分析方法所获得的该天气过程控制性天气流型是截然不同的，前者很好地再现了长江流域梅雨锋暴雨过程的鞍型场流场结构。
1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金(20050284035)、国家重点基础研究发展规划项目(973：
2004CB418301)资助。
2. 基于数字滤波器的合成分析方法
2.1合成分析方法的数学表达
合成分析方法的目的是将多时次的物理量场t x （,...,t M M =−）进行叠加，然后得到
一个能反映其基本特征的合成分析场ˆx
。具体的计算式为： ˆM
t t M t x
w x =−=⋅∑， （1） 其中是t w t x 对应的权重系数，且只是时次的函数；t w t t x 可以是两维场，也可以是三维场。如果为常数（t w )121M =+），则式（1）就是算术平均的计算式。因此，选取的权重系数的不同，将决定合成分析方法的不同。如果取为数字滤波器的权重系数，则可以利用数字滤波器的滤波特性，消除某一天气过程中的“噪声”（高频部分），这就称作基于数字滤波器的合成分析方法。
t w t w 2.2 Dolph-Chebyshev 窗口函数
理想低通滤波器的频率响应函数为： ()1,0,c in c
H e θθθθθ⎧≤⎪=⎨≥⎪⎩， （2）
其中，是一个整数，21i =−n θ为频率，c θ为截断频率（cut-off frequency ）。该理想低通滤波器的系数()h n 可以通过傅立叶反变换得到： ()1,2c c in h n e d n θθθθπ−=−∞≤∫≤+∞， （3）
这是一个无穷域上的连续函数。将()h n 在有限域[],M M −内离散有： ())sin ,0,c n n n M n h n M
θπM −≤≤+⎧⎪=⎨>⎪⎩， （4） 其中c θ为截止频率。本文中将作为权重系数的滤波器称作傅立叶滤波器。
n h 傅立叶滤波器作为最简单的数字滤波器，可以滤掉高频波，但同时也引入了吉布斯震荡现象（图1a ）。权重系数的数量越少（M 越小），震荡的幅度越大[4]。为了抑制吉布斯震荡现象，一个有效的手段是采用窗口函数。将与窗口函数相乘，可以在“窗口”内对傅立叶滤波器的频率响应曲线进行平滑。
n h 窗口函数有很多。Hamming [5]指出，窗口函数若利用Chebyshev 多项式来构造，可获得最优化的窗口函数（相对于最有效地抑制吉布斯震荡而言），即Dolph-Chebyshev 窗（以下
简称DC 窗），DC 窗在频域的响应函数为：
()()()
2020cos 2M DC M T x W T x θθ⎡⎤⎣⎦=， （5） 其中，01x >θ为频率，而是()2M T x 2M 阶的Chebyshev 多项式，其定义为：
()()()121cos 2cos ,1cosh 2cosh ,1
M M x x T x M x x −−⎧⋅≤⎪=⎨⋅>⎪⎩。 （6） 根据式（5），如果禁止频率（stop frequency ）s θ满足()0cos 21s x θ=，那么当频率θ
从变化到0s θ时，则响应函数()W θ从1减小到r （()201M x =）。同时当s θθ≥时，
()W θ在r ±的范围内震荡。利用傅立叶反变换，可以由式（5）得到时域上的DC 窗的系数DC
n
w 为：
2011212cos cos M DC
n M m m m w r T x N N ππ=⎧⎫n N ⎡⎤⎛⎞=+⋅⎨⎬⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎩
⎭∑， （7） 其中(N 21M =+)是时间序列的长度，()2M T x 是2M 阶的Chebyshev 多项式。由式（6）可知由于()W θ是实、偶函数，则DC
n w 也是实函数且满足DC
D n n w w −=C
。
为了构造低通滤波器，需要满足当0θ=时()W θ最大，且当θπ→±时()W θ的值较小。因此选择0x 和满足如下关系： r ()01cos 2s x θ=
，()
101cosh 2cosh r M x −=⋅， （8） 其中s θ为截止频率。 2.3 Dolph-Chebyshev 窗口滤波器
在构造Dolph-Chebyshev 窗口滤波器之前，可以调整DC 窗的系数DC
n w 为：
0DC DC
DC
n n w w w = ， （9）
其中DC
n w 和DC n w
分别为调整前后的DC 窗系数，0DC
w 是0n =时的DC
n w 值。式（9）相当于将DC
n w 的幅度放大01DC
w 倍，这样可以使01DC w = ，
且增大不同时n DC
n w 间的差距。进行调整之后，将DC n w 与式（4）对应相乘即得到Dolph-Chebyshev 窗口滤波器的系数n h DC n h ：
DC DC n n h w n h =⋅ 。 （10）
图1b 表示了在相同的M 和相同的截断频率c θ条件下，由不同的禁止频率s θ决定的Dolph-Chebyshev 滤波器的频率响应函数。从中可以看出，不同的s θ会得到不同的频率响应
函数。如果s θ太小（s M θπ=），吉布斯震荡现象依然存在；而如果s θ太大（4s M θπ=），则带宽（bandwidth ）太宽。因此必须选择合适的s θ（例如2s M θπ=，后面几节都采用这一关系）。
从图1c 可以看出M 越大，则Dolph-Chebyshev 窗口滤波器越接近于理想低通滤波器，这和其他数字滤波器的结果是相同的。但在应用到合成分析方法中时，对于[],M M ′′−的时间序列，M 的最大可能值是确定的，即M M ′=。因此为了得到较高的精度，必须选择最大的M 值（M ′=）。
2.4 Dolph-Chebyshev 窗口滤波器与其他窗口数字滤波器的比较
除了Dolph-Chebyshev 窗口函数，天气学上常用的还有著名的Lanczos 窗口函数，仿照Dolph-Chebyshev 窗口滤波器的设计， Lanczos 窗口滤波器其系数L城市让生活更糟糕
n h 应为：
L
L
春天麻n n h w n h =⋅， （11）
其中由式（4）决定，n h L
n w 为Lanczos 窗口函数，即： ()sin ,0,c L
n
n M n M w n n M θπ⎧−≤≤+⎪=⎨⎪>⎩
， （12） 其中c θ为截断频率。 从图1d 可以看出，即使M 和c θ相同，不同的数字滤波器也有不同的频率响应函数曲线。对于Fourier 低通滤波器，吉布斯震荡的幅度最大。而Lanczos 和Dolph-Chebyshev 窗口滤波器都能有效地抑制吉布斯震荡。但是Dolph-Chebyshev 窗口滤波器对高频部分的衰减最大，当1θ>时衰减最大达到了-118dB ；而Lanczos 和Fourier 窗口滤波器分别只有-101dB 和-80dB 。这说明Dolph-Chebyshev 窗口滤波器要优于Lanczos 窗口滤波器和Fourier 滤波器。
3. 在“987”暴雨过程天气合成分析中的应用
3.1 资料及处理方法
西北工业大学学报
本文采用了亚洲季风试验（Gain Asian Monsoon Experiment ，简称GAME ）中的客观再分析数据，其水平分辨率为0.5°×0.5°，时间间隔为6hr ，是目前所能获得的最高分辨率的再分析资料。韩荣青、李维京等[6]指出，在对流层低层和中高层GAME 再分析资料的基本要素场及地面的降水场和通量场较NCEP 再分析资料更为准确。
1998年7月中下旬，我国长江流域发生了特大暴雨过程，即“987”暴雨过程。本文选择1998年7月20日12时作为中心时刻（0t =）。整个过程从7月13日直到28日，总共61个时次。应用上节提出的基于Dolph-Chebyshev 窗口滤波器，其中的各参数取, 30M =
物质文化c M
戒毒θπ
= and 2
s M
θπ
=。为了与其相比较，同时计算这61个时次的算术平均场。3.2 结果
从图2可见，利用基于Dolph-Chebyshev滤波器的合成分析方法和算术平均方法得到的结果之间最大的不同在于，前者在武汉附近850hPa存在一个鞍型场的动力结构，而后者则为大范围的偏南风。有关梅雨锋结构的研究表明：鞍型场是它的基本风场[7]。低层狭长的鞍型风场与梅雨锋的位置大体一致，且鞍型场对锋区的维持起重要的作用[8]。由此可见，如果采用简单的算术平均方法，会把鞍型场这一梅雨锋的重要特征平滑掉，而得到错误的结构。而采用基于Dolph-Chebyshev滤波器的合成分析方法则很好地在现并且突出了这一鞍型场特征。
4.结论
本文提出了基于Dolph-Chebyshev窗口滤波器的天气合成分析方法。该方法与传统的算术平均方法相比，能够保留某一天气过程的重要特征，因此要优于算术平均方法。该方法基于Dolph-Chebyshev窗口技术的低通数字滤波器设计，即Dolph-Chebyshev窗口滤波器，它在通过时间序列上的权重平均过程中不仅能够滤掉“噪声”（即小于等于2倍时间格距的高频扰动部分），同时也能够有效抑制吉布斯震荡现象。通过对Fourier、Lanczos和Dolph-Chebyshev三种滤波器的比较，发现Dolph-Chebyshev窗口滤波器不仅能够抑制吉布斯震荡，而且对高频部分施加更强的衰减作用，因此要优于其它两个滤波器。将该合成方法应用于“987”梅雨锋暴雨过程中，发现其合成分析结果与算术平均结果相比，前者能够更好地在现梅雨锋的鞍型场结构，进而体现了这种天气合成分析方法的优越性。
但另一方面，Dolph-Chebyshev滤波器是由Chebyshev多项式构成，因此在计算时需要
花费较多的计算时间来计算其系数。同时由于禁止频率
s
θ能够影响Dolph-Chebyshev滤波器的滤波效果，因此在应用时需要选择合适的禁止频率。
5.致谢
本文在天气学合成诊断分析中所采用再分析资料来源于日本气象厅(JMA)和日本地球观测研究中心／日本国家空间发展厅（EORC/NSDAJ）提供的GAME再分析资料，在此表示感谢。
参考文献民族音乐学
[1]Brown, R. A., 1992: A compositing approach for preserving significant features in atmospheric profiles［J］.
Monthly Weather Review, 121, 874-880.
[2]Duchon, C. E., 1979: Lanczos filtering in one and two dimensions［J］. Journal of Applied Meteorology, 18,
1016-1022.
[3]Lynch, P., 1997: The Dolph-Chebyshev window: a simple optimal filter［J］. Monthly Weather Review, 125,
655-660.
[4]Lanczos, C., 1956: Applied Analysis［M］. Prentice-Hall, 539pp.
[5]Hamming, R. W., 1977［M］: Digital Filters. Prentice-Hall, 226pp.
[6]韩荣青，李维京，胡国权，何金海。GAME再分析资料与NCEP再分析资料在1998年HUBEX试验期
的对比分析［J］。应用气象学报，2004，15（2），141-151。
[7]Hu Bowei. On the conceptual model of the typical mei-yu front in the continent of China 1992［A］.
International Symposium on Torrential Rain and Flood. Huangshan Mt. Anhui, China. October 5-9, 1992.
[8]孙淑清，杜长萱。梅雨锋的维持与其上扰动的发展特征［J］。应用气象学报，1996，7（2），153-159。
A Synoptical Compositing Method Based on
Dolph-Chebyshev Window Filter
WANG Yuan, SONG Jinjie and TANG Jie
Department of Atmospheric Science, Nanjing University, Nanjing, P.R. China Key Laboratory of Mesoscale Severe Weather, Ministry of Education, Nanjing, 210093
Abstract
A new synoptical compositing method is proposed in this paper which is very different with ordinary compositing methods. The proposed method is indeed based on so-called Dolph-Chebyshev window filter, which is a combination of Dolph-Chebyshev window function and low-pass filter. It is therefore understandable that such filter not only eliminates the irrationally high-frequent noise, meanwhile it also makes necessarily heavy damping effect on possible Gibbs-Oscillation. Moreover, the weighting factors derived from Dolph-Chebyshev window filter are further used in the proposed s
ynoptical compositing scheme, which is of course different with the traditional processing where only arithmetic mean used as the weighting. To illustrate the advantage existing in the synoptical compositing, a famous “987” weather case is taken into account, which is in fact an extremely heavy rainfall event in recently Chinese records. And the compositing result correctly makes out underlying weather situation, an horse-saddle pattern.
Key words:synoptical compositing method, Dolph-Chebyshev window filter, saddle pattern
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议