“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.
1“四点共圆”作为证题目的
例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.
分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.
欲证M，N，P，Q四点共圆，须证
MK·KN＝PK·KQ，
即证(MC′-KC′)(MC′+KC′)
＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)
或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ①
不难证明 AP=AM，从而有
AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.
故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)
=KC′2-KB′2. ②
由②即得①，命题得证.
例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，
O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，
△OCA的外心.求证：O，O1，O2，
O3四点共圆.
分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.
由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆.拳皇13卡
利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.
2以“四点共圆”作为解题手段
这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.
(1)证角相等
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例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.
求证：∠DMA＝∠CKB.
分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，
有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC
＝180°，
∴∠CMK+∠KDC＝180°.
故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC.
但已证∠AMB＝∠BKA，
∴∠DMA＝∠CKB.
(2)证线垂直
例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，
BC交于K，N(K与N不同).△ABC
外接圆和△BKN外接圆相交于B和
M.求证：∠BMO=90°.
分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.
连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=
∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+
∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°C，O，K，M四点共圆.
在这个圆中，由
OC=OK OC=OK∠OMC=∠OMK.
但∠GMC=∠BMK，
故∠BMO=90°.
(3)判断图形形状
例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.
试证：I瓮安县国土资源局AIBICID是矩形.
分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得
∠AICB=90°+∠ADB=90°+
∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四点
共圆.
同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时
∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，
∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，
∴∠AICID+∠AICIB
=360°- (∠ABC+∠ADC)
=360°-×180°=270°.
故∠IBICID=90°.
同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.
(4)计算
例6．正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝2.P为正方形内
一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.则PB=__________
分析：答案是PB=42㎝.怎样得到的呢？
连接OA，OB.易知O，P，A，B
四点共圆，有∠APB=∠AOB=90°.
故PA2+PB2=AB2=1989.
由于PA:PB=5:14，可求PB.
(5)其他
例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). 分析：设△EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上.
作正△EFG的高EK，易知E，K，G，
D四点共圆∠KDE=∠KGE=60°.同
理，∠KAE=60°.故△KAD也是一个正
三角形，K必为一个定点.
又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S=也最小.当徐州师范大学论坛KF通过B点时，边长为2·，这时边长最大，面积S=2-3也最大.
例8．NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS＞MQ.
分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′.连接
MQ′，SQ′.
易证N，M，R，P四点共圆，从而，∠SNQ′=∠MNR=
∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称MQ′=MQ.
又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(
∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.
练习题
1.⊙O1交⊙O2 于A，B两点，射线O1A交⊙O2 于C点，射线O2A
交⊙O1 于D点.求证：点A是△BCD的内心.
(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2
四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)
2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.
(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)
3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.
4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.
(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)
5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引双极电凝镊EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(北纬31度录像带提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)
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