秒杀知识点
知识点1：（长方体外接球半径公式）
长方体外接球半径为R ，a ，b ，c 为长方体的长、宽、高． 则22224R a b c =++．（外接球表面积()222πS a b c =++球） 特别：当a b c ==（正方体）时，2243R a =或2234
R a =．
知识点2：（正四面体公式）
设正四面体棱长为a ，则：
（1）3V =
正四面体．
（2）外接球半径R =．
（3）内切球半径r =
（:3:1R r =）．秒杀思路分析
球的计算是考纲中的一个重要知识点．对特殊几何体特别是长方体或正四面体及其外接球的计算更是高考中的一个高频考点．
这类试题秒杀思路一般是直接套用公式，或进行转化为长方体或正四面体后套用公式直接计算．后一种情况要求能力较高．
【示例1】（2017年全国卷Ⅱ文15）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球
O 的表面积为______．
【示例2】（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上．若3AB =， 4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（
）
A
B ．
C ．13
2
D ．【示例3】（2003年全国卷）一个四面体所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
北京人资A ．3π
B ．4π
C ．
D ．6π
方法对比
【例1】（2013年新课标全国卷Ⅱ文15）已知正四棱锥O ABCD -
O
为球心，OA 为半径的球的表面积为______．
【例2】（2013年湖北预赛）已知四面体P ABC -的体积为1，G ，K 分别是ABC △，PBC △的重心，过G 作直线分别与AB ，AC 交于点M ，N ，则四棱锥K MNCB -体积的最大值为______．
【例3】（清华2018年高三11月标准学术能力诊断测试（理）15）已知正四面体ABCD 的棱长为个顶点都在球心为O 的球面上，点P 为棱BC 的中点，过P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为______
秒杀训练
【试题1】已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为______．
【试题2】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，ABC △，ACD △，ADB △的面积分别为
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
深圳a股
A ．2π
B ．6π
C ．
D ．24π
【试题3】设长方体长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．23πa
B ．26πa
C ．212πa
D ．224πa
【试题4】如图是一个体积为72的正四面体，连接两个面的重心E ，F ，则线段EF 的长为______．
【试题5】在平面上，若两个正三角形边长的比为:21，则它们的面积比为:41．类似地，空间中，若两个正四面体的棱长之比为:21，则它们的体积比为______．
真题回放
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【试题1】（2017年天津卷文11）已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．
【试题2】（2014年河南高二预赛）棱长为1的正四面体的四个面的中心所组成的小正四面体的外接球的体积为______．
【试题3】（2017~2018学年度沈阳市郊联体高三一模文11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
求异面直线所成角的正弦公式
【公式】：如图，平面MCD ⊥平面NCD ．直线AB 与两平面分别相交于A ，B ，且直线AB 与平面MCD 所成角为α，直线AB 与平面NCD 所成角为β，记异面直线AB 与CD 所成角为θ，则222sin sin sin θαβ=+．
【示例】（2014年新课标全国Ⅱ卷理11）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
斗形纹A ．1
10
B ．2
tamall5
C D
§2 长方体外接球及正四面体公式
秒杀知识点
知识点1：（长方体外接球半径公式）
长方体外接球半径为R ，a ，b ，c 为长方体的长、宽、高． 则22224R a b c =++．（外接球表面积()222πS a b c =++球） 特别：当a b c ==（正方体）时，2243R a =或2234
R a =．
知识点2：（正四面体公式）
设正四面体棱长为a ，则：
（1）3V =
正四面体．
（2）外接球半径R =．
（3）内切球半径r =
（:3:1R r =）．【证明】这里只证明知识点2中的公式（2），其余请同学自行完成．
设正四面体外接球球心为O ，BCD △的中心为1O ，则1OO D △为直角三角形．
可知12233O D MD ===，222211233AO a a a =-=，
∴1AO =
，∴1
OO R -．
在直角1OO D △中，由勾股定理得2
2
213R a R ⎫
=+-⎪⎭
，
∴R =
．（也可转化为正方体证明，略）
记忆方法：（1）长方体外接球直径平方（对角线平方）等于三边平方和．
（2有关：即31
3V =．cnpda
（3
有关，共四个面．
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