定理
第3O卷第1期
2O10年3月
辽宁石油化工大学
J0URNAIOFIAAONINGSHIHUAUNIVERSITY
V o1.30No.1
Mar.201O
文章编号:1672—6952(2010)01—0081一O3
一
严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理
宋岱才，魏晓丽，赵晓颖
(辽宁石油化工大学理学院，辽宁抚顺113001)
摘要：针对线性方程组的系数矩阵为口一严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况，讨论了线性方
程组求解时常用的几种迭代方法的收敛性，给出了迭代法收敛性定理，解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题.结
果不仅适用于这两类矩阵，还适用于广义严格对角占优矩阵类，最后举例说明了所给结果的优越性.
关键词：一严格对角占优矩阵；双严格对角占优矩阵；迭代法；收敛性
中图分类号:O241.6;O151.2文献标识码:Adoi:10.3696/j.issn.1672—6952.2010.01.022
—
DiagonalStrictlyDominanceMatrixandConvergence TheoremofIterationMethods
SONGDai—cai,WEIXiao—li,ZHAOXiao—ying
(SchoolofSciences,LiaoningShihuaUniversity,FushunLiaoning113001,P.R.China)
Received25March2009;revised12October2009;accepted13November2009 Abstract:Someiterationmethodsforsolvinglinearsystemwerestudied,whencoefficientma trixisa—diagonalstrictly dominanceordoublydiagonalstrictlydominance,andsomeconvergencetheoremsweregiv en.Resultsobtainedwereapplicable
tOa—diagonalstrictlydominancematrixordoublydiagonalstrictlydominancematrix,andimpro vedtheknownresultsand
weresuitedtOextendedmatrices.Finally,annumericalexamplesweregivenforillustratinga dvantageofresults.
Keywords:a—diagonalstrictlydominancematrix;Doublydiagonalstrictlydominancematrix;Iterationme thod;
Convergencetheoremr
Correspondingauthor.Te1.:+86—413—6860821;fax:+86—413—6860766;e--mail:*************
1基本概念及引理
给定线性方程组Ax—b，其中A∈为非奇异矩阵,b为维列向量.在用迭代法解此方程组的问题
中，常常需要研究其迭代矩阵谱半径的界限，这对于研究迭代法的收敛性以及收敛速度等是非常有意义的.
文献[1—7]对于迭代矩阵为严格对角占优矩阵,a一严格对角占优矩阵和双a一严格对角占优矩阵等情形分
别讨论了常用的几种迭代法的谱半径的上界估计问题.然而很少见有针对系数矩阵来研究迭代法收敛的问
核酸杂交题.本文的主要工作是：针对方程组的系数矩阵A为a一严格对角占优矩阵以及双严格对角占优矩阵，讨论
了几种常用迭代法的收敛性，得到了几个从未见过的结论，解决了估计迭代矩阵谱半径的界限问题.最后举
例说明这一结果的使用性.
设方程组的系数矩阵A分解为A—D—L—u，其中D—diag(aa.,…,a)，一L是矩阵A 的严格下三
角矩阵，一u是矩阵A的严格上三角矩阵.三种常用的迭代法分别如下:
Jacobi迭代法:-z针=Bar+f,B=D(L+u)'厂一Db(1)
Gauss—Seidel迭代法:.z抖一A+g,M一(D—L)'.u，一(D—L)b(2)
爱的套索JOR迭代法:¨===Mz+-厂,M一D[(1一∞)D+(L+U)](3)
收稿日期:2009—03—25
作者简介：宋岱才(1954一)，男，山东济南市，教授.
基金项目：辽宁省教育厅高校科研项目(2004F100)；辽宁石油化工大学重点学科建设资助项目(K20o409).
82辽宁石油化工大学第3O卷
其中,f=ob；称为松弛因子；矩阵B,M,M分别称为Jacobi,Gauss—Seidel及JOR迭代法的迭代矩阵.
设A一(口)∈C，记R(A)一∑JaJ;S(A)一∑J&,J,i∈N一(1,2,…,).
定义1E.]：设A一(口)EC，若对任意的i∈N,d∈E0,1]，皆有laI>R?(A)s～(A)，则称A为a一严
格对角占优矩阵，记为A∈D.若存在正对角矩阵d—diag(d,d.,…,d)使得AdED，则称A为广义口一
严格对角占优矩阵，记为AEGD.
定义2[]：设A一()EC，若Jah.a,,J>；足(A)R,(A),Vi,JEN成立，则称A为双严格对角占优矩阵,
记为A∈D.若存在正对角矩阵d—diag(d,d,…,d)，使得AdED，则称A为广义双严格对角占优矩阵,
钢框胶合板模板记为AEGD.
引理1Esl：设A一(口)∈C"，若A∈D或AEGD，则A为非奇异矩阵.
引理2E]：设A一(&)EC，若A∈JD或AEGD，则A为非奇异矩阵.
引理3设是一个常数,0<；叫≤1，则当l1≥1时，总有l一1+叫1≥叫.
证明当≥l时，有一1+≥≤一l肘，有一1+≤--2+，注意到O<≤1，所以得一】+C.O
一
2+≤一1≤--OJ.综上得l一1+I≥.
2主要结论
定理1若A∈D.或A∈D，则对任意初始向量解线性方程组A.r—b的Jacobi迭代法都收敛.
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证明：首先证明当A∈D.时,Jacobi迭代法收敛.
设为B—D(L+u)的任一特征值，则det(;tI--B)一det[2I--D_1(L+(,)]一0,(为单位矩阵)，即:
detEXD一(L+u)]一0(4)
由于A∈D，所以有faI>R(A)s(A)=:=(L+【,)S～(L+【,),i∈N成立.假设B存在一个特征值ff
≥1，则由上式得到:
fff&f>R(A)S-口(A)一R(L+)S(L+),iEN
成立.这说明一(L+u)∈D.由引理1知，一(L+u)非奇异.与(4)式矛盾.所以B的特征值全满
足f入f<1，即此时总有Jacobi迭代法迭代矩阵的谱半径小于1，所以收敛.
其次，证明当A∈D时,Jacobi迭代法收敛.
由于A∈D，则知，对Vi,JEN,falia,f>R(A)R,(A)成立，即:
蒙古天韵laa,,I>R(A)R,(A)一R(L+U)R,(L+U)
假设B存在一个特征值li≥1，同样，上式右边乘以ff.，得到对Vi,JEN，总有f口af>R(A)R(A)一
R.(L+u)R,(L+u)成立，说明一(L+u)ED.由引理2知,～(L+u)非奇异.与式(4)矛盾.所以
B的特征值全满足fI<1，得Jacobi迭代法收敛.
定理2若A∈D.或A∈D，则对任意初始向量解线性方程组一6的Gauss—Seidel 迭代法收敛.
证明首先证明A∈D.时,Gauss—Seidel迭代法收敛.
设为Gauss—Seidel迭代矩阵(D～L)u的任意特征值，则det(卜一(D—L)u)一0，即
det(2I一(D一L)(,)一0.(5)
假设M一(D—L)【，至少存在一个特征值≥1.因为A∈D.，即有ViEN,
{口f>；尺(A)S(A)一R(L+u)S(L+u)
两边同时乘以ll，并注意到ll≥1，得:
ifiaf>flR?(L+【,)?ff卜.s(L+u)
一
[1iR(L+u)]?[IlS(L+u)]卜.
≥(儿+【,)?S卜口(旭+【,)
说明(D—L)一u为a一严格对角占优矩阵，由引理1得到(D—L)一u非奇异，与(5)式矛盾.所以11≥1
不是M一(.D—L)叫【，的特征值，结论成立.
其次，证明当A∈D时,Gauss—Seidel迭代法收敛.
由于A∈D，则知，对Vi,JEN,la//o~,,i>；尺(A)R(A)成立，又由定理1的证明过程及矩阵L和的构
成知R(A)一R(L+U)一R:(L)+R(【,)，所以对ViEN，即有:
第1期宋岱才等.a一严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理83
『alial>JR(L)+R(【,)]?[R(L)+R,(u)]成立.
假设M=(D—L)u至少存在一个特征值lJ≥1.上式两边同时乘以l}得:
lIIaiiaI>II[R(L)+R(u)]?II[R,(L)十R,(【,)]
≥[I『R(L)+R(u)]?[IIR,(L)+R,(u)]
一
[R(儿)+R(【,)]?[R,(儿)+R(u)]一R(儿+【,)?R(儿+u)
上式说明(D—L)一u为严格a一对角占优矩阵，得到A(D—L)一u非奇异，与(5)式矛盾.
参与式教学综上得，若A∈D或A∈D,Gauss—Seidel迭代矩阵的特征值总有lf<1.从而Gauss —Seidel迭代法
收敛.
定理3若A∈D或A∈D，且∞满足O<；叫≤1，则对任意初始向量解线性方程组
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