1.(1)已知:如图1,△ABC为等边三角形,点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE,连接CE.求证:①BD=CE,②∠DCE=120°;
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE,类比题(1),请你猜想:①桃交易电影
∠DCE的度数;②线段BD、CD、DE之间的关系,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,若D点在BC的延长线上运动,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.
①则题(2)的结论还成立吗?请直接写出,不需论证;
②连结BE,若BE=10,BC=6,直接写出AE的长.
叶世祥证明:(1)①如图1,∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠ACB=∠B=60°,
∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠B=60°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°;
(2)∠DCE=90°,什么是美貌效应BD2+CD2=DE2.
证明:如图2,∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,
在△ABD与△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE=45°,BD=CE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°,
∴∠休克的原则BCE=90°,
∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,
∴BD2+CD2=DE2;
(3)①(2)中的结论还成立.
理由:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,
在△ABD与△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABC=∠ACE=45°,BD=CE,
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°,
∴∠BCE=90°=∠ECD,
∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,
∴BD2+CD2=DE2;
②∵Rt△BCE中,BE=10,BC=6,
∴CE===8,
∴BD=CE=8,
∴CD=8﹣6=2,
∴Rt△DCE中,DE===,
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴.
2.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线经济问题探索L上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与容县公社论坛AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.
【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;
【数学思考】(2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.
【探究发现】
证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵CD∥AB
∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴DB=DC
即DP=DB;
【数学思考】
证明:(2)∵DG⊥CD,∠DCB=45°
∴∠DCG=∠DGC=45°
∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,
∵∠BDP=∠CDG=90°
∴∠CDP=∠BDG
,在△CDP和△GDB中,,
∴△CDP≌△GDB(ASA)
∴DP=DB.
3.在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC和AC上,AD与BE相交于点F.
(1)如图1,若∠BAC=60°,BD=CE,求证:∠1=∠2;
(2)如图2,在(1)的条件下,连接CF,若CF⊥BF,求证:BF=2AF;