经典题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．
∵EG⊥CO，EF⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90°
∴∠EGO+∠EFO=180°
∴E、G、O、F四点共圆
∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90°
∴△EGO∽△FHG
∴=
∵GH⊥AB，CD⊥AB
∴GH∥CD
∴
∴
∵sir模型EO=CO
∴CD=GF
2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。
求证：△PBC是正三角形．（初二）
证明：作正三角形ADM，连接MP
∵∠MAD=60°，∠PAD=15°
∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°
∵∠BAD=90°，∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°
∴∠BAP=∠MAP
∵MA=BA，AP=AP
∴△MAP≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA，MP=BP
同理∠CPD=∠MPD，MP=CP
∵∠PAD＝∠PDA＝15°
∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°
∵BA=CD
∴△BAP≌∠CDP
∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD
∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG
∵CN=DN，CG=DG
∴GN∥AD，GN=AD
∴∠DEN=∠GNM
执法公信力
∵AM=BM，AG=CG
∴GM∥BC，GM=BC
∴∠F=∠GMN
∵AD=BC
∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN=∠F
经典题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G
∵OG⊥AF
∴AG=FG
∵=
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BHD+∠DBH=90°
∠ACB+∠DBH=90°
∴∠ACB=∠BHD
∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC
∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD
又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD
∴四边形OMDG是矩形
∴OM=GD ∴AH=2OM
（2）连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120°
∵OB=OC，OM⊥BC
∴∠BOM=∠BOC=60°∴∠OBM=30°
∴BO=2OM
由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.
求证：AP＝AQ．
证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF
∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF
即∠PAE=∠QAF
十一届三中全会的意义∵E、F、C、D四点共圆
∴∠AEF+∠FCQ=180°
∵EF⊥AG，PQ⊥AG
∴EF∥PQ
∴∠PAF=∠AFE
∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF
在△AEP和△AFQ中
∠AFQ=∠AEP
AF=AE
∠QAF=∠PAE
∴△AEP≌△AFQ
∴AP=AQ
∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°
∴∠FCQ=∠QAF
∴F、C、A、Q四点共圆
∴∠AFQ=∠ACQ
又∠AEP=∠ACQ
∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG
∵C、D、B、E四点共圆
∴∠B=∠D，∠E=∠C
∴△ABE∽△ADC
∴
∴△ABG∽△ADF
∴∠AGB=∠AFD
∴∠AGE=∠AFC
∵AM=AN，
∴OA⊥MN
又OG⊥BE，
∴∠OAQ+∠OGQ=180°
∴O、A、Q、E四点共圆
∴∠AOQ=∠AGE
同理∠AOP=∠AFC
∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA
∴△OAQ≌△OAP
∴AP=AQ
4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N
∵OF=OD，DN∥OP∥FL
∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线
∴DN+FL=2OP
∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90°
又∠BFL+∠FBL=90°
∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB
∴△BFL≌△ABM
∴FL=BM
同理△AMC≌△CND
∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN
∴BC=FL+DN=2OP
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG=OD=BD=AC=AE
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75°
又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC
∴CE=CF
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC，又EG⊥AC
∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°
在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF
=180°-∠FAC-∠GCE
=180°-135°-30°=15°
∴∠F=∠CEA
∴AE=AF
∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG = OD =BD=AC=CE雪崩危情
∴∠GCE=30°
∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H
∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形
∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG
∴HCGF是正方形
设AB=x，BP=y，CG=z
z：y=（x-y+z）：x
化简得（x-y）·y=（x-y）·z
∵x-y≠0
∴y=z
即BP=FG
丙硫咪唑∴△ABP≌△PGF
∴CG=GF∵AP⊥FP
∴∠APB+∠FPG=90°
∵∠APB+∠BAP=90°
∴∠FPG=∠BAP
又∠FGP=∠PBA
∴△FGP∽△PBA
∴FG：PB=PG：AB
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，昆明闪电
连接OH、MH、EC
∵EH=FH
∴EM=KM
∵EK∥BD
∴
∴OB=OD
又AO=CO
∴四边形ABCD的对角线互相平分
∴ABCD是平行四边形
∴AB=DC，BC=AD
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°又PC⊥OC，∴∠POC=90°
∴P、C、H、O四点共圆
∴∠HCO=∠HPO
又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK
∴∠HCM=∠HEM
∴H、C、E、M四点共圆
∴∠ECM=∠EHM
又∠ECM=∠EFA
∴∠EHM=∠EFA
∴HM∥AC
∵EH=FH
经典题(四)
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求∠APB的度数．（初二）
解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ
则△BPQ是正三角形
∴∠BQP=60°，PQ=PB=3
在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5
∴△PQC是直角三角形
∴∠PQC=90°
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