杨尚飞，陆凤波
(海军研究院，北京100161
)摘要：针对常用数字通信调制信号的成形滤波器的滚降系数估计，提出了一种基于接收信号功率谱估计和求解非线 性方程的参数估计方法㊂由于接收信号的理想功率谱为升余弦函数傅里叶变换的幅度谱，首先对功率谱进行反快速傅里叶变换，然后对余弦项进行泰勒展开，最后通过解高次方程来估计滚降系数㊂通过不同参数条件下的仿真实验验证了所提出的参数估计方法的有效性㊂
关键词：参数估计；滚降系数；成形滤波；逆傅里叶变换中图分类号:T N 911 文献标识码:A 文章编号:C N 32-1413(2018)04-0076-04
D O I :10.16426/j .c n k i .j
c d z d k .2018.04.018A nE s t i m a t i o n M e t h o d f o rT h eR o l l -o f f F a c t o r o f S h a p i n g
F i t t e r i n g o fD i g i t a lM o d u l a t i o nS i g
n a l s Y A N GS h a n g -f e i ,L U F e n g
-b o (N a t i o n a lN a v y R e s e a r c hA c a d e m y ,B e i j i n g 1
00161,C h i n a )A b s t r a c t :T h i s p a p e r p r o p o s e s a p a r a m e t e r e s t i m a t i o nm e t h o db a s e d o n t h e p o w e r s p
e c t r u me s t i m a -t i o no
f r e c e i v e d s i
g n a l a n d p a r a m e t e r e s t i m a t i o nm e t
h o d f o r r e s o l v
i n g n o n -l i n e a r e q u a t i o n a i m i n g a
t t h e r o l l -o f f f a c t o r e s t i m a t i o no f s h a p i n g f i l t e r f o r c o mm o nd i g i t a l c o mm u n i c a t i o n m o d u l a t i o ns i g
-n a l s .T h ei d e a l p o w e rs p e c t r u m o fr e c e i v e ds i g n a li st h ea m p l i t u d es p
e c t r u m o fr a i s e dc o s i n e
f u n c t i o na f t e r f a s tF o u r i e r t r a n s f o r m (F F T ),s o t h e p o w e r s p e c t r u mo f r e c e i v e ds i
g n a l i s c
h a n g e d b y
i n v e r s e f a s tF o u r i e r t r a n s f o r m (I F F T ),a n d t h e n t h e c o s i n e t e r mi su n f o l d e db y T a y l o r ,f i n a l l y
t h e r o l l -o f f f a c t o r i s e s t i m a t e d b y s o l v i n g h i g h o r d e r e q u a t i o n .T h e e f f i c i e n c y o f t h e p r o p
o s e d r o l l -o f f f a c t o r e s t i m a t i o nm e t h o d i s v a l i d a t e d t h r o u g h t h e s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t u n d e r d i f f e r e n t p a r a m e t e r c o n d i t i o n .
K e y w
o r d s :p a r a m e t e r e s t i m a t i o n ;r o l l -o f f f a c t o r ;s h a p i n g f i l t e r i n g ;i n v e r s eF o u r i e r t r a n s f o r m 收稿日期:20180414
0 引 言
在截获信号处理等电子侦察系统中，通过对信
号的调制参数进行精确估计以进一步实现非协作条件下的信息解调㊂数字通信中的调制参数包括载波频率㊁码速率㊁成形滤波滚降系数等㊂滚降系数描述了成形滤波器的带宽特性㊂在实际通信中，由于传输信道带宽是受限的，为了提高通信系统的频谱利用率，通常需要在发送端把信号进行成形滤波，从而降低信号旁瓣功率，然而对信号限带会使信号在接收端形成码间串扰，因此为了在限带的同时消除码
间干扰就必须对成形滤波器进行设计，使其符合奈奎斯特准则㊂文献[1]证明了当成形滤波器使用平方根升余弦，在接收端使用匹配滤波器就能够在理论上完全消除码间干扰㊂
在实际应用中，考虑到限带和消除码间串扰，数字通信信号在发送端的成形滤波和接收端的匹配滤
波通常采用平方根升余弦滤波器[2-3]
，滚降系数主要
控制平方根升余弦滤波器过渡带的陡峭程度㊂对于电子侦察系统来说，为了实现在非合作条件下对信号的匹配滤波，提高处理增益，需要事先准确估计出成形滤波器的滚降系数㊂目前，对于成形滤波器滚
2018年8月舰船电子对抗
A u g
.2018第41卷第4期
S H I P B O A R DE L E C T R O N I CC O U N T E R M E A S U R E
V o l .41N o .4
降系数估计方法的研究还比较少㊂文献[4]提出的估计方法需要假设已知平方根升余弦滤波器的截止频率，算法的鲁棒性和估计精度都比较差㊂
本文提出了一种基于接收信号功率谱估计和求解非线性方程的滚降系数估计方法㊂由于采用平方根升余弦滤波器进行成形滤波的线性调制信号，其功率谱为升余弦函数的傅里叶变换的幅度谱，而升余弦频谱对应的时域升余弦脉冲曲线中具有明显的滚降系数特征，因此对功率谱进行快速傅里叶逆变换，然后通过求解高次方程来估计滚降系数㊂
暖通空调系统1 信号模型及平方根升余弦滤波器[5
]
线性数字调制的带通信号可以表示为一般的
形式:
s (t )=R
e {l (t )e j (2π
f 0t +ϕ0
)}=
12
{l (t )e j (2πf 0t +ϕ0)+l *(
t )e -j (2πf 0t +ϕ0)}(1)式中:ϕ0为初相;
l (t )为复包络㊂s (t )的自相关函数为:R s (τ)=E [s (t +τ)s (t )]=
12R l (τ)e j 2πf 0τ+12
R *l (
τ)e -j 2πf 0
τ(2) 对R s (τ)进行F o u r i e r 变换,
可以得到功率谱为:
S s (f )
=12
[S l (f -f 0)+S *
l (-f -f 0)](3)式中:S l (f )为复包络l (
t )的功率谱㊂S l (f )是实偶函数，所以S l (f )可以化简为:
S s (f )=1
2[S l (f -f 0)
牛血清白蛋白+S l (-f -f 0)](4) 从式(4)可以看出，中频线性调制信号的功率谱是等效基带信号的功率谱通过平移f 0后得到的，因此中频信号的功率谱形状与其等效基带信号的功率谱是相同的，下面对基带信号进行分析㊂
对于线性数字调制方式,l (t )可以表示为:
l (t )=
ðɕ
n =-ɕ
b n
g (
t -n T c
)
(5
)式中:T c 为码元周期;{b n }为通信系统发送的码元序列;g (t )为成形滤波器时域波形㊂由文献[5]可知l (t )是周期循环平稳过程,
通过推导可得基带信号l (t )的功率谱:
S l =1T c
G (f )2
S b (f )
(6)式中:G (f )为g (t )的F o u r i e r 变换;S b (f )
表示信息序列的功率谱，其定义为:
S b (f )
=ðɕ
m =-ɕ
R
b
(m )e -j 2πf m T c
(7
)式中:R b (m )为符号序列的自相关函数:
R b (m )=12
E b *
n b n +m []
(8) 假设发送的码元序列{b n }是相互独立的，上式中的自相关函数R b (m )可以表示成:
R b (m )=
σ2b +μ2
b ,
m =0μ
2b
,m ʂ0{
(9)式中:σ2
b 为码元序列的方差;μb 为码元序列的均值㊂
把式(9)代入式(7
)，得到:S b (f )
=σ2
b
+μ2b
ðɕm =-ɕ
e
-j 2πf m T c (10
) 上式可以看成面积为1/T c 的周期冲激序列的
指数傅里叶级数㊂因此，上式可以表示为:
S b (f )=σ2
b
+μ2
b T
c ðɕ
m =-ɕδf -m T c
æèçöø÷(11) 将式(11)代入式(6),l (t )的功率谱可以表示为:
S l (f )=σ2
b T c
G (f )2
+
μ2
b T 2
c ðɕ
m =-ɕ
G m T c æèçöø÷2
δf -m T c æèçöø÷(12)从上面基带信号l (t )的功率谱表达式可以看
出，功率谱分为两部分：第1项与成型脉冲g (t )的幅度谱的平方成正比；当码元序列是相互独立的，第2项中均值μb 为零,
因此第2项为零㊂由于常用的相移键控(P S K )
信号均为线性调制信号，接收信号可以统一表示为:
y (
t )=R e A 0e
j (2πf 0t +ϕ0
)ðɕ
k =-ɕ
b k
h (
t -k T c
-t 0)[]+n (
黑龙江计划生育条例t )(13
)式中:A 0为信号幅度;f 0为信号载波频率;ϕ0为信
号初始相位;{b k }
为发送码元序列;n (t )为零均值方差为σ2
的实高斯白噪声;h (t )表示幅度归一化的平方根升余弦基带成形脉冲时域波形，令成型滤
波器的滚降系数为α,0ɤαɤ1㊂
由上述的理论分析可知，截获信号y (t )的功率谱可以表示为:
Y (f )=A 2
s 2T c
H (f -f 0)2
+N (f )(
14)7
7第4期
杨尚飞等：一种数字调制信号的成形滤波滚降系数估计方法
式中:H (f )
为平方根升余弦脉冲h (t )的傅里叶变换;N (f )为高斯白噪声的功率谱㊂
当信号在发射端经过成形滤波器时会导致码间
干串，为消除或降低码间串扰，需要对成型滤波器的波形进行特殊设计，平方根升余弦滤波器是实际通信系统中经常采用的一类成形滤波器，滚降系数α是控制其脉冲形状的主要参数㊂
需要注意的是，在发射端用平方根升余弦脉冲进行成型滤波并不满足N y q u i s t 第一准则，即间干扰准则，但在接收端通过匹配滤波后，输出响应等效为升余弦脉冲，而升余弦脉冲是满足N y q u i s
t 准则的，因此在理论上能够实现间干扰传输㊂
升余弦脉冲的频谱可以表示为:G (f )
=T c ,0ɤf ɤ
1-α2T c T c 21-s i n πT c αf -12T c æèçöø
÷éëêêùû
úú,1-α2T c <f ɤ1+α
2T c
0,f >1+α2T c ìî
íïïïïïïïïïï
(15
) 时域的升余弦脉冲可以表示为:
g (t )=s i n (πt /T c )πt /T c c o s (παt /T c )
1-4α2t 2/T 2
c
(16
) 升余弦脉冲成形是在发射端和接收端分别通过
平方根升余弦脉冲滤波器实现的，其中接收端滤波器的时域脉冲响应h r (t )=h (-t )㊂则发射端成型滤波器h (t )和接收端匹配滤波器h r (
t )的级联响应g (t )=h (t )*h (-t )，对应的频域响应为G (f )
=H (f )2㊂H (f )=G (f )
小辰1/2
称为平方根升余弦频谱，其时域波形可以表示为:
h (t )=
4αc o s [(1+α)πt /T c ]+s
i n [(1-α)πt /T c ](4αt /T c )-1πT c [1-(4α/T c )
2
](17) 从上式可以看出，在码速率R B =1/T c 已知的
情况下，要想对截获到的信号进行匹配滤波，必须要对滚降系数α进行准确估计㊂图1和图2分别为滚降系数α取值为0,0.5和
1时，对应的升余弦脉冲幅度谱和升余弦脉冲时域波形
㊂
2 滚降系数估计算法原理
由于G (f )=H (f )2
,
从式(14)可以看出，将图1 升余弦脉冲的幅度谱
图2 升余弦脉冲时域波形
功率谱Y (f )减去噪声的功率谱密度N (f )
，可以得到A 2
s
2T c
G (f -f 0)
㊂对处理后的功率谱作逆变换，并取幅值以消除中频f 0对升余弦脉冲相位的影响，则
可以得出升余弦脉冲时域波形的幅度值A g (t ),
式中A =A 20/2T c ㊂对信号功率谱S s (f )进行反快速傅里叶变换
(I F F T )
，并取模可以得到升余弦脉冲的时间响应A g (t )，再对A g (t )进行归一化处理后得升
余弦函数|g (t )|㊂当0<t <T c 时,|g (t )|=
g (
t )，其中:g (t )=s i n (πt /T c )πt /T c c o s (παt /T c )
1-4α2t 2/T 2
c (18) 对余弦项c o s (πa t /T c )进行泰勒展开得:
c o s (πa t /T c )=ð
ɕ
n =0
(-1)n
(πa t /T c )
2n
(2n )
!=1-(πa t /T c )22!+(πa t /T c )44!-(πa t /T c )6
6!
+
o (t 6
)(19
)
式中:o (㊃)表示高阶无穷小,o (t 6
)可以忽略不计㊂则有:
8
7舰船电子对抗 第41卷
c o s (πa t /T c )=1-(πa t /T c )22!+(πa t /T c )
44!
-(πa t /T c )6
6!
(20
) 代入式(18)，可得:g (t )=s i n (πt /T c )
πt /T c
㊃1-(πa t /T c )22!+(πa t /T c )44!-(πa t /T c )6
6!
1-4α2t 2/T 2
c
(21
)令β=α
2
，方程可变为:g (t )=s i n (πt /T c )πt T c 2
-π2βt 22+π4β2t 424T c -π6β3t 6720T c 3
T 2c -4β
t 2
(22
) 化简得:
β3π6t 6720T c 3-β2π4t 42
4T c +β(π2t 22-g (t )4πt 3
s i n (πt /T c ))+πt T 2
c g (t )
s i n (πt /T c )
-T c 2=0(23) 令a =
π6t 6720T c 3,b =-π4t 424T c ,c =π2t
2
2-g (t )4πt
3
s i n (πt /T c ),d =πt T 2c g (t )s i n (πt /T c )
-T c 2，则方程化简为:a β3+b β2
+c β+d =0
(24) 则问题简化为解关于β的一个一元三次方程，滚降系数α=β,β=y -3a
b ，其中:
y =3
-q
2
+
q 2æèçöø÷2+p 2æèçöø
÷3-3
-q
2-q 2æèçöø÷2+p 2æèçöø
÷3
(25
)p =c a -b 23a 2,q =-2b 3
27a 3-b c
3a 2
(26) 因此,
可以根据升余弦脉冲幅度响应，利用泰勒展开，构建和求解高次方程，得到滚降系数的估计值α
^㊂3 性能仿真与分析
政府预算收支科目
下面对滚降系数α的估计性能进行仿真分析㊂
在仿真中，以四相移相键控(Q P S K )
信号为例，采样率f s 为1
00MH z ，码速率为2MH z ，中心频率为70MH z ㊂功率谱的长度为L ，采用M 个数据段周期图的平均㊂在仿真实验1和仿真实验2中，对不同参数条件分别进行了500次M o n t eC a r l o 仿真实验㊂
仿真实验1：平方根升余弦脉冲的滚降系数α=
0.4，功率谱的长度L 取2048,
在数据段数M 分别取为1000,2000,30
00时，计算得到均方根误差(R M S E )随信噪比变化曲线㊂从图中可以看出,M 为3000时R M S E 值最小,α的估计性能最好,
由于M 越大信号功率谱估计的性能越好㊂
图3 α的估计误差随信噪比变化曲线
仿真实验2：当M =2000,L =2048,S N R =5
d B 时，改变α的值，计算α估计值的R M S E
㊂从图
中可以看出,α的R M S E 值在0.3<α<0.8时比较小，估计性能比较好；在α>0.8或α<0.3时估计性能比较差，因为升余弦函数的幅度值在α>0.8或α
<0.3时变化比较小㊂
图4 α估计的R M S E 随真实值变化曲线
4 结束语
本文研究了数字调制信号常用的一类平方根升
余弦成形滤波器的参数估计问题㊂通过分析采用平方根升余弦成形滤波的数字通信信号的功率谱特性，提出了一种有效的滚降系数估计方法，并通过计算机仿真对滚降系数的估计性能进行了分析，仿真结果验证了算法的有效性㊂
(下转第82页)
9
7第4期
杨尚飞等：一种数字调制信号的成形滤波滚降系数估计方法
调整因子的谱修正滤波器可以在谱修正滤波器与匹配滤波器之间互相过渡㊂对于随机跳频干扰，可以根据实际需求，通过改变调整因子的取值来调节输出信号的主旁瓣比和信噪比损失㊂同时，加入调整因子后还可以改善谱修正方法的稳健性㊂
3 仿真实验
在MA T L A B 中进行仿真实验,
仿真参数为:(1)随机跳频干扰基带发射信号持续时间
20μs ，带宽100MH z ，跳频间隔40n s
，载频10G H z ，采样率150MH z ，跳频点序列由MA T L A B 产生的伪随机数映射得到,
每次产生的跳频点序列都不同㊂
(2)目标可视为点目标，回波中叠加的噪声为白噪声，基带回波信噪比为30d B ㊂
(3
)谱修正算法采用的窗函数为海明窗㊂比较加入调整因子的谱修正算法与匹配滤波的结果，图1给出了当α=0.6时某个信号样本分别通过匹配滤波器㊁谱修正滤波器的时域输出㊂此时匹配滤波器输出峰值旁瓣电平(P S L )约为-24.8d B ,
谱修正滤波器输出P S L 约为-32.5d B ，与匹配滤波器相比信噪比损失约为2.67d B ㊂图2和图3分别给出了谱修正算法处理10000个信号样本得到的主旁瓣比和信噪比损失的样本均值㊁方差与调整因子α的变化关系
㊂数理化自学丛书
图1
单个样本通过谱修正滤波器和匹配滤波器的输出
图2 谱修正算法性能随α变化的曲线
图3 谱修正算法稳健性随α变化的曲线
从仿真结果可以看出,
低旁瓣和高信噪比是不可兼得的，通过改变调整因子的取值可以调整谱修正滤波器输出主旁瓣比㊁信噪比以及稳健性㊂
4 结束语
结合雷达电子战一体化的趋势，本文研究了随机
跳频干扰的距离旁瓣抑制方法㊂针对谱修正算法应用于随机跳频干扰时信噪比损失过大和稳健性差的问题，引入调整因子，使谱修正算法输出主旁瓣比㊁信噪比和稳健性可调，可根据实际需求折衷选择㊂参考文献
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28舰船电子对抗 第41卷
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